Theorem s7rn 15098

Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s7rn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s7rn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
s7rn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
s7rn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
s7rn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
s7rn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
s7rn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
s7rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s4s3 15062	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
3	2	rneqd 5920	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4		s4cli 15013	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 15012	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14715	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9		df-s4 14981	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
11	10	rneqd 5920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12		s3cli 15012	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13		s1cli 14732	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		ccatrn 14715	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
16	14, 15	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17		s7rn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		s7rn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
19		s7rn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	17, 18, 19	s3rn 15097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21		s7rn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		s1rn 14726	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
24	20, 23	uneq12d 4116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
25	11, 16, 24	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26		s7rn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
27		s7rn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
28		s7rn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
29	26, 27, 28	s3rn 15097	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
30	25, 29	uneq12d 4116	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
31	3, 8, 30	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ran crn 5652  (class class class)co 7412  Word cword 14638   ++ cconcat 14695  ⟨“cs1 14722  ⟨“cs3 14973  ⟨“cs4 14974  ⟨“cs7 14977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-s4 14981  df-s5 14982  df-s6 14983  df-s7 14984

This theorem is used by:  s7f1o  15099  usgrexmpl1edg  49066  usgrexmpl2edg  49071