Theorem s7rn 14992

Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s7rn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s7rn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
s7rn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
s7rn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
s7rn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
s7rn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
s7rn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
s7rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s4s3 14958	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
3	2	rneqd 5919	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4		s4cli 14909	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 14908	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14617	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9		df-s4 14877	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
11	10	rneqd 5919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12		s3cli 14908	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13		s1cli 14633	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
14	12, 13	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		ccatrn 14617	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
16	14, 15	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17		s7rn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		s7rn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
19		s7rn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	17, 18, 19	s3rn 14991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21		s7rn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		s1rn 14627	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
24	20, 23	uneq12d 4125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
25	11, 16, 24	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26		s7rn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
27		s7rn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
28		s7rn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
29	26, 27, 28	s3rn 14991	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
30	25, 29	uneq12d 4125	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
31	3, 8, 30	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  {csn 4585  {ctp 4589  ran crn 5653  (class class class)co 7400  Word cword 14540   ++ cconcat 14597  ⟨“cs1 14623  ⟨“cs3 14869  ⟨“cs4 14870  ⟨“cs7 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-s4 14877  df-s5 14878  df-s6 14879  df-s7 14880

This theorem is referenced by:  s7f1o  14993  usgrexmpl1edg  48644  usgrexmpl2edg  48649