Theorem s7rn 14900

Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s7rn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s7rn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
s7rn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
s7rn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
s7rn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
s7rn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
s7rn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
s7rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s4s3 14866	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
3	2	rneqd 5895	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4		s4cli 14817	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 14816	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14525	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9		df-s4 14785	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
11	10	rneqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12		s3cli 14816	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13		s1cli 14541	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		ccatrn 14525	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17		s7rn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		s7rn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
19		s7rn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	17, 18, 19	s3rn 14899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21		s7rn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		s1rn 14535	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
24	20, 23	uneq12d 4123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
25	11, 16, 24	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26		s7rn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
27		s7rn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
28		s7rn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
29	26, 27, 28	s3rn 14899	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
30	25, 29	uneq12d 4123	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
31	3, 8, 30	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  {csn 4582  {ctp 4586  ran crn 5633  (class class class)co 7368  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531  ⟨“cs3 14777  ⟨“cs4 14778  ⟨“cs7 14781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-s4 14785  df-s5 14786  df-s6 14787  df-s7 14788

This theorem is referenced by:  s7f1o  14901  usgrexmpl1edg  48378  usgrexmpl2edg  48383