Theorem s7rn 14874

Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s7rn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s7rn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
s7rn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
s7rn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
s7rn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
s7rn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
s7rn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
s7rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s4s3 14840	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
3	2	rneqd 5882	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4		s4cli 14791	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 14790	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14499	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9		df-s4 14759	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
11	10	rneqd 5882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12		s3cli 14790	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13		s1cli 14515	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		ccatrn 14499	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17		s7rn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		s7rn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
19		s7rn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	17, 18, 19	s3rn 14873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21		s7rn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		s1rn 14509	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
24	20, 23	uneq12d 4118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
25	11, 16, 24	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26		s7rn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
27		s7rn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
28		s7rn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
29	26, 27, 28	s3rn 14873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
30	25, 29	uneq12d 4118	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
31	3, 8, 30	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  {csn 4575  {ctp 4579  ran crn 5620  (class class class)co 7352  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505  ⟨“cs3 14751  ⟨“cs4 14752  ⟨“cs7 14755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757  df-s3 14758  df-s4 14759  df-s5 14760  df-s6 14761  df-s7 14762

This theorem is referenced by:  s7f1o  14875  usgrexmpl1edg  48148  usgrexmpl2edg  48153