MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s7rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s7rn 15016
Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
s7rn.a (𝜑𝐴𝑉)
s7rn.b (𝜑𝐵𝑉)
s7rn.c (𝜑𝐶𝑉)
s7rn.d (𝜑𝐷𝑉)
s7rn.e (𝜑𝐸𝑉)
s7rn.f (𝜑𝐹𝑉)
s7rn.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
s7rn (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn
StepHypRef Expression
1 s4s3 14982 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
32rneqd 5963 . 2 (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4 s4cli 14933 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5 s3cli 14932 . . . 4 ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
64, 5pm3.2i 470 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7 ccatrn 14639 . . 3 ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
86, 7mp1i 13 . 2 (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9 df-s4 14901 . . . . . 6 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
1110rneqd 5963 . . . 4 (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12 s3cli 14932 . . . . . 6 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13 s1cli 14655 . . . . . 6 ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
1412, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15 ccatrn 14639 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17 s7rn.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
18 s7rn.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
19 s7rn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
2017, 18, 19s3rn 15015 . . . . 5 (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21 s7rn.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
22 s1rn 14649 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
2420, 23uneq12d 4192 . . . 4 (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
2511, 16, 243eqtrd 2784 . . 3 (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26 s7rn.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑉)
27 s7rn.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
28 s7rn.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
2926, 27, 28s3rn 15015 . . 3 (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
3025, 29uneq12d 4192 . 2 (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
313, 8, 303eqtrd 2784 1 (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cun 3974  {csn 4648  {ctp 4652  ran crn 5701  (class class class)co 7450  Word cword 14564   ++ cconcat 14620  ⟨“cs1 14645  ⟨“cs3 14893  ⟨“cs4 14894  ⟨“cs7 14897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900  df-s4 14901  df-s5 14902  df-s6 14903  df-s7 14904
This theorem is referenced by:  s7f1o  15017  usgrexmpl1edg  47841  usgrexmpl2edg  47846
  Copyright terms: Public domain W3C validator