Theorem s7rn 14938

Description: Range of a length 7 string. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s7rn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s7rn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
s7rn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
s7rn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
s7rn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
s7rn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
s7rn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
s7rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Proof of Theorem s7rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s4s3 14904	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
3	2	rneqd 5905	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
4		s4cli 14855	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 14854	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14561	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
9		df-s4 14823	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
11	10	rneqd 5905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
12		s3cli 14854	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
13		s1cli 14577	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		ccatrn 14561	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩))
17		s7rn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		s7rn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
19		s7rn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	17, 18, 19	s3rn 14937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
21		s7rn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		s1rn 14571	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐷”⟩ = {𝐷})
24	20, 23	uneq12d 4135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ ran ⟨“𝐷”⟩) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
25	11, 16, 24	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
26		s7rn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
27		s7rn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
28		s7rn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
29	26, 27, 28	s3rn 14937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ = {𝐸, 𝐹, 𝐺})
30	25, 29	uneq12d 4135	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∪ ran ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
31	3, 8, 30	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  {ctp 4596  ran crn 5642  (class class class)co 7390  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567  ⟨“cs3 14815  ⟨“cs4 14816  ⟨“cs7 14819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823  df-s5 14824  df-s6 14825  df-s7 14826

This theorem is referenced by:  s7f1o  14939  usgrexmpl1edg  48019  usgrexmpl2edg  48024