Theorem usgrexmpl2edg 47937

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {0, 5} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2edg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Proof of Theorem usgrexmpl2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29089	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
3	2	fveq2i 6914	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
5	4	ovexi 7469	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		s7cli 14927	. . . . . 6 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
8	6, 7	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		opiedgfv 29047	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
10	5, 8, 9	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
11	3, 10	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
12	11	rneqi 5952	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
13	6	rneqi 5952	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
14		prex 5444	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} ∈ V)
16		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {1, 2} ∈ V)
18		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {2, 3} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {2, 3} ∈ V)
20		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 4} ∈ V)
22		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {4, 5} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {4, 5} ∈ V)
24		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 3} ∈ V)
26		prex 5444	. . . . . 6 ⊢ {0, 5} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 5} ∈ V)
28	15, 17, 19, 21, 23, 25, 27	s7rn 15007	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V → ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
29	14, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})
30		unass 4183	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
31		df-tp 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}})
32		df-pr 4635	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}} = ({{4, 5}} ∪ {{0, 3}})
33	32	uneq1i 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}}) = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
34	31, 33	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
35	34	uneq2i 4176	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}))
36		unass 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}))
37		uncom 4169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}})
38		unass 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
39	36, 37, 38	3eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
40	39	uneq2i 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})))
41		uncom 4169	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))) = (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}})
42		unass 4183	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
43	40, 41, 42	3eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
44		df-tp 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} = ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}})
45		uncom 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}})
46		df-pr 4635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}})
47	46	equncomi 4171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}})
48	47	uneq2i 4176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
49		unass 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
50	48, 49	eqtr4i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})
51	44, 45, 50	3eqtrri 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}
52	51	uneq2i 4176	. . . . . . 7 ⊢ ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
53	35, 43, 52	3eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
54	53	uneq2i 4176	. . . . 5 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
55	54	equncomi 4171	. . . 4 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
56		unass 4183	. . . . 5 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
57		uncom 4169	. . . . . 6 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) = ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
58	57	uneq2i 4176	. . . . 5 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
59	56, 58	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
60	30, 55, 59	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
61	13, 29, 60	3eqtri 2768	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
62	1, 12, 61	3eqtri 2768	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∪ cun 3962  {csn 4632  {cpr 4634  {ctp 4636  ⟨cop 4638  ran crn 5691  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  0cc0 11159  1c1 11160  2c2 12325  3c3 12326  4c4 12327  5c5 12328  ...cfz 13550  Word cword 14555  ⟨“cs7 14888  iEdgciedg 29037  Edgcedg 29087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-hash 14373  df-word 14556  df-concat 14612  df-s1 14637  df-s2 14890  df-s3 14891  df-s4 14892  df-s5 14893  df-s6 14894  df-s7 14895  df-iedg 29039  df-edg 29088

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nblem  47938  usgrexmpl2trifr  47945