Theorem usgrexmpl2edg 47764

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {0, 5} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2edg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Proof of Theorem usgrexmpl2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29075	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
3	2	fveq2i 6922	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
5	4	ovexi 7479	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		s7cli 14930	. . . . . 6 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
8	6, 7	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		opiedgfv 29033	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
10	5, 8, 9	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
11	3, 10	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
12	11	rneqi 5961	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
13	6	rneqi 5961	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
14		prex 5455	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} ∈ V)
16		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {1, 2} ∈ V)
18		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {2, 3} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {2, 3} ∈ V)
20		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 4} ∈ V)
22		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {4, 5} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {4, 5} ∈ V)
24		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 3} ∈ V)
26		prex 5455	. . . . . 6 ⊢ {0, 5} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 5} ∈ V)
28	15, 17, 19, 21, 23, 25, 27	s7rn 15010	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V → ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
29	14, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})
30		unass 4189	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
31		df-tp 4653	. . . . . . . . 9 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}})
32		df-pr 4651	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}} = ({{4, 5}} ∪ {{0, 3}})
33	32	uneq1i 4181	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}}) = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
34	31, 33	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
35	34	uneq2i 4182	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}))
36		unass 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}))
37		uncom 4175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}})
38		unass 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
39	36, 37, 38	3eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
40	39	uneq2i 4182	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})))
41		uncom 4175	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))) = (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}})
42		unass 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
43	40, 41, 42	3eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
44		df-tp 4653	. . . . . . . . 9 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} = ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}})
45		uncom 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}})
46		df-pr 4651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}})
47	46	equncomi 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}})
48	47	uneq2i 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
49		unass 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
50	48, 49	eqtr4i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})
51	44, 45, 50	3eqtrri 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}
52	51	uneq2i 4182	. . . . . . 7 ⊢ ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
53	35, 43, 52	3eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
54	53	uneq2i 4182	. . . . 5 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
55	54	equncomi 4177	. . . 4 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
56		unass 4189	. . . . 5 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
57		uncom 4175	. . . . . 6 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) = ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
58	57	uneq2i 4182	. . . . 5 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
59	56, 58	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
60	30, 55, 59	3eqtri 2766	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
61	13, 29, 60	3eqtri 2766	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
62	1, 12, 61	3eqtri 2766	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482   ∪ cun 3968  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  ran crn 5700  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  ...cfz 13563  Word cword 14558  ⟨“cs7 14891  iEdgciedg 29023  Edgcedg 29073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898  df-iedg 29025  df-edg 29074

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nblem  47765  usgrexmpl2trifr  47772