Theorem usgrexmpl2edg 48505

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {0, 5} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2edg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Proof of Theorem usgrexmpl2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29118	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
3	2	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
5	4	ovexi 7401	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		s7cli 14847	. . . . . 6 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
8	6, 7	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		opiedgfv 29076	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
10	5, 8, 9	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
11	3, 10	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
12	11	rneqi 5892	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
13	6	rneqi 5892	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
14		prex 5380	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} ∈ V)
16		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {1, 2} ∈ V)
18		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {2, 3} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {2, 3} ∈ V)
20		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 4} ∈ V)
22		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {4, 5} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {4, 5} ∈ V)
24		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 3} ∈ V)
26		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {0, 5} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 5} ∈ V)
28	15, 17, 19, 21, 23, 25, 27	s7rn 14927	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V → ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
29	14, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})
30		unass 4112	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
31		df-tp 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}})
32		df-pr 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}} = ({{4, 5}} ∪ {{0, 3}})
33	32	uneq1i 4104	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}}) = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
34	31, 33	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
35	34	uneq2i 4105	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}))
36		unass 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}))
37		uncom 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}})
38		unass 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
39	36, 37, 38	3eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
40	39	uneq2i 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})))
41		uncom 4098	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))) = (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}})
42		unass 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
43	40, 41, 42	3eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
44		df-tp 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} = ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}})
45		uncom 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}})
46		df-pr 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}})
47	46	equncomi 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}})
48	47	uneq2i 4105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
49		unass 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
50	48, 49	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})
51	44, 45, 50	3eqtrri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}
52	51	uneq2i 4105	. . . . . . 7 ⊢ ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
53	35, 43, 52	3eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
54	53	uneq2i 4105	. . . . 5 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
55	54	equncomi 4100	. . . 4 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
56		unass 4112	. . . . 5 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
57		uncom 4098	. . . . . 6 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) = ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
58	57	uneq2i 4105	. . . . 5 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
59	56, 58	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
60	30, 55, 59	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
61	13, 29, 60	3eqtri 2763	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
62	1, 12, 61	3eqtri 2763	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  {csn 4567  {cpr 4569  {ctp 4571  ⟨cop 4573  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  ...cfz 13461  Word cword 14475  ⟨“cs7 14808  iEdgciedg 29066  Edgcedg 29116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-s5 14813  df-s6 14814  df-s7 14815  df-iedg 29068  df-edg 29117

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nblem  48506  usgrexmpl2trifr  48513