Theorem usgrexmpl2edg 47844

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {0, 5} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2edg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Proof of Theorem usgrexmpl2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29084	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
3	2	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		usgrexmpl2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
5	4	ovexi 7482	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		usgrexmpl2.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		s7cli 14934	. . . . . 6 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
8	6, 7	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		opiedgfv 29042	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
10	5, 8, 9	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
11	3, 10	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
12	11	rneqi 5962	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
13	6	rneqi 5962	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
14		prex 5452	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} ∈ V)
16		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {1, 2} ∈ V)
18		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {2, 3} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {2, 3} ∈ V)
20		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 4} ∈ V)
22		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {4, 5} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {4, 5} ∈ V)
24		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 3} ∈ V)
26		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {0, 5} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 5} ∈ V)
28	15, 17, 19, 21, 23, 25, 27	s7rn 15014	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V → ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
29	14, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})
30		unass 4195	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
31		df-tp 4653	. . . . . . . . 9 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}})
32		df-pr 4651	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}} = ({{4, 5}} ∪ {{0, 3}})
33	32	uneq1i 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{4, 5}, {0, 3}} ∪ {{0, 5}}) = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
34	31, 33	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} = (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})
35	34	uneq2i 4188	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}))
36		unass 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}))
37		uncom 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{4, 5}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}})
38		unass 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{0, 5}}) ∪ {{4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
39	36, 37, 38	3eqtri 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))
40	39	uneq2i 4188	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})))
41		uncom 4181	. . . . . . . 8 ⊢ ({{3, 4}} ∪ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}))) = (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}})
42		unass 4195	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 3}} ∪ ({{0, 5}} ∪ {{4, 5}})) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
43	40, 41, 42	3eqtri 2772	. . . . . . 7 ⊢ ({{3, 4}} ∪ (({{4, 5}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}))
44		df-tp 4653	. . . . . . . . 9 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} = ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}})
45		uncom 4181	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{3, 4}, {4, 5}} ∪ {{0, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}})
46		df-pr 4651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}})
47	46	equncomi 4183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {{3, 4}, {4, 5}} = ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}})
48	47	uneq2i 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
49		unass 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = ({{0, 5}} ∪ ({{4, 5}} ∪ {{3, 4}}))
50	48, 49	eqtr4i 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ({{0, 5}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}}) = (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})
51	44, 45, 50	3eqtrri 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}}) = {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}
52	51	uneq2i 4188	. . . . . . 7 ⊢ ({{0, 3}} ∪ (({{0, 5}} ∪ {{4, 5}}) ∪ {{3, 4}})) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
53	35, 43, 52	3eqtri 2772	. . . . . 6 ⊢ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})
54	53	uneq2i 4188	. . . . 5 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
55	54	equncomi 4183	. . . 4 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ ({{3, 4}} ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})) = (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
56		unass 4195	. . . . 5 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
57		uncom 4181	. . . . . 6 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) = ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}})
58	57	uneq2i 4188	. . . . 5 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) = ({{0, 3}} ∪ ({{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}} ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}))
59	56, 58	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}) ∪ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
60	30, 55, 59	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
61	13, 29, 60	3eqtri 2772	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
62	1, 12, 61	3eqtri 2772	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  ...cfz 13567  Word cword 14562  ⟨“cs7 14895  iEdgciedg 29032  Edgcedg 29082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-s4 14899  df-s5 14900  df-s6 14901  df-s7 14902  df-iedg 29034  df-edg 29083

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nblem  47845  usgrexmpl2trifr  47852