Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s3rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3rn 32604
Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
s3rn.i (𝜑𝐼𝐷)
s3rn.j (𝜑𝐽𝐷)
s3rn.k (𝜑𝐾𝐷)
Assertion
Ref Expression
s3rn (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn
StepHypRef Expression
1 imadmrn 6060 . 2 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2 s3rn.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
3 s3rn.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
4 s3rn.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝐷)
52, 3, 4s3cld 14825 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 wrdfn 14480 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7 s3len 14847 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
87oveq2i 7413 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9 fzo0to3tp 13719 . . . . . . . . 9 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtri 2752 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
1110fneq2i 6638 . . . . . . 7 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1211biimpi 215 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
135, 6, 123syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1413fndmd 6645 . . . 4 (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
1514imaeq2d 6050 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16 c0ex 11207 . . . . . 6 0 ∈ V
1716tpid1 4765 . . . . 5 0 ∈ {0, 1, 2}
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19 1ex 11209 . . . . . 6 1 ∈ V
2019tpid2 4767 . . . . 5 1 ∈ {0, 1, 2}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22 2ex 12288 . . . . . 6 2 ∈ V
2322tpid3 4770 . . . . 5 2 ∈ {0, 1, 2}
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
2513, 18, 21, 24fnimatp 32396 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26 s3fv0 14844 . . . . 5 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
272, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28 s3fv1 14845 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
293, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30 s3fv2 14846 . . . . 5 (𝐾𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
314, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
3227, 29, 31tpeq123d 4745 . . 3 (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
3315, 25, 323eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
341, 33eqtr3id 2778 1 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {ctp 4625  dom cdm 5667  ran crn 5668  cima 5670   Fn wfn 6529  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108  2c2 12266  3c3 12267  ..^cfzo 13628  chash 14291  Word cword 14466  ⟨“cs3 14795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802
This theorem is referenced by:  cyc3co2  32792
  Copyright terms: Public domain W3C validator