Theorem s3rn 15123

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 15005	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
3	2	rneqd 5919	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
4		s2cli 15036	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14756	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14739	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
11	9, 10	s2rn 15122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
12		s3rn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14750	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
15	11, 14	uneq12d 4168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾}))
16		df-tp 4589	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽, 𝐾} = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾})
17	15, 16	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ran crn 5651  (class class class)co 7421  Word cword 14662   ++ cconcat 14719  ⟨“cs1 14746  ⟨“cs2 14997  ⟨“cs3 14998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005

This theorem is used by:  s7rn  15124  cyc3co2  33748