Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s3rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3rn 30619
 Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
s3rn.i (𝜑𝐼𝐷)
s3rn.j (𝜑𝐽𝐷)
s3rn.k (𝜑𝐾𝐷)
Assertion
Ref Expression
s3rn (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn
StepHypRef Expression
1 imadmrn 5920 . 2 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2 s3rn.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
3 s3rn.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
4 s3rn.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝐷)
52, 3, 4s3cld 14223 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 wrdfn 13869 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7 s3len 14245 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
87oveq2i 7149 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9 fzo0to3tp 13116 . . . . . . . . 9 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtri 2847 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
1110fneq2i 6432 . . . . . . 7 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1211biimpi 219 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
135, 6, 123syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1413fndmd 6437 . . . 4 (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
1514imaeq2d 5910 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16 c0ex 10620 . . . . . 6 0 ∈ V
1716tpid1 4685 . . . . 5 0 ∈ {0, 1, 2}
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19 1ex 10622 . . . . . 6 1 ∈ V
2019tpid2 4687 . . . . 5 1 ∈ {0, 1, 2}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22 2ex 11700 . . . . . 6 2 ∈ V
2322tpid3 4690 . . . . 5 2 ∈ {0, 1, 2}
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
2513, 18, 21, 24fnimatp 30420 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26 s3fv0 14242 . . . . 5 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
272, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28 s3fv1 14243 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
293, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30 s3fv2 14244 . . . . 5 (𝐾𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
314, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
3227, 29, 31tpeq123d 4665 . . 3 (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
3315, 25, 323eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
341, 33syl5eqr 2873 1 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {ctp 4552  dom cdm 5536  ran crn 5537   “ cima 5539   Fn wfn 6331  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523  2c2 11678  3c3 11679  ..^cfzo 13026  ♯chash 13684  Word cword 13855  ⟨“cs3 14193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-s3 14200 This theorem is referenced by:  cyc3co2  30800
 Copyright terms: Public domain W3C validator