Theorem s3rn 30648

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s3rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s3rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 5906	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2		s3rn.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s3rn.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4		s3rn.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
5	2, 3, 4	s3cld 14225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		wrdfn 13871	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7		s3len 14247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	fneq2i 6421	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
12	11	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
13	5, 6, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
14	13	fndmd 6427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
15	14	imaeq2d 5896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16		c0ex 10624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4664	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19		1ex 10626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	19	tpid2 4666	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22		2ex 11702	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
23	22	tpid3 4669	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
25	13, 18, 21, 24	fnimatp 30440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26		s3fv0 14244	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28		s3fv1 14245	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	3, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30		s3fv2 14246	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
31	4, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
32	27, 29, 31	tpeq123d 4644	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
33	15, 25, 32	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
34	1, 33	syl5eqr 2847	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {ctp 4529  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  3c3 11681  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  ⟨“cs3 14195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202

This theorem is referenced by:  cyc3co2  30832