Theorem s3rn 14868

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14753	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
3	2	rneqd 5878	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
4		s2cli 14784	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14510	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14494	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
11	9, 10	s2rn 14867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
12		s3rn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14504	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
15	11, 14	uneq12d 4119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾}))
16		df-tp 4581	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽, 𝐾} = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾})
17	15, 16	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3900  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580  ran crn 5617  (class class class)co 7346  Word cword 14417   ++ cconcat 14474  ⟨“cs1 14500  ⟨“cs2 14745  ⟨“cs3 14746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753

This theorem is referenced by:  s7rn  14869  cyc3co2  33104