Theorem s3rn 14989

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14874	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
3	2	rneqd 5918	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
4		s2cli 14905	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14631	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14615	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
11	9, 10	s2rn 14988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
12		s3rn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14625	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
15	11, 14	uneq12d 4125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾}))
16		df-tp 4590	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽, 𝐾} = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾})
17	15, 16	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  {csn 4585  {cpr 4587  {ctp 4589  ran crn 5652  (class class class)co 7400  Word cword 14538   ++ cconcat 14595  ⟨“cs1 14621  ⟨“cs2 14866  ⟨“cs3 14867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-s1 14622  df-s2 14873  df-s3 14874

This theorem is referenced by:  s7rn  14990  cyc3co2  33368