Theorem s3rn 14889

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14774	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
3	2	rneqd 5884	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
4		s2cli 14805	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14530	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14514	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
11	9, 10	s2rn 14888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
12		s3rn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14524	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
15	11, 14	uneq12d 4122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾}))
16		df-tp 4584	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽, 𝐾} = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾})
17	15, 16	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903  {csn 4579  {cpr 4581  {ctp 4583  ran crn 5624  (class class class)co 7353  Word cword 14438   ++ cconcat 14495  ⟨“cs1 14520  ⟨“cs2 14766  ⟨“cs3 14767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774

This theorem is referenced by:  s7rn  14890  cyc3co2  33095