Theorem s3rn 15027

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof shortened by AV, 1-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14912	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
3	2	rneqd 5933	. 2 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩))
4		s2cli 14943	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V
5		s1cli 14664	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V)
7		ccatrn 14647	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word V) → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (⟨“𝐼𝐽”⟩ ++ ⟨“𝐾”⟩) = (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩))
9		s2rn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10		s2rn.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
11	9, 10	s2rn 15026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
12		s3rn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13		s1rn 14658	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐾”⟩ = {𝐾})
15	11, 14	uneq12d 4126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾}))
16		df-tp 4599	. . 3 ⊢ {𝐼, 𝐽, 𝐾} = ({𝐼, 𝐽} ∪ {𝐾})
17	15, 16	eqtr4di 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∪ ran ⟨“𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
18	3, 8, 17	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  ran crn 5667  (class class class)co 7423  Word cword 14570   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654  ⟨“cs2 14904  ⟨“cs3 14905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912

This theorem is used by:  s7rn  15028  cyc3co2  33491