Theorem s3rn 32756

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s3rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s3rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6074	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2		s3rn.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s3rn.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4		s3rn.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
5	2, 3, 4	s3cld 14859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		wrdfn 14514	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7		s3len 14881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13753	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	fneq2i 6653	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
12	11	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
13	5, 6, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
14	13	fndmd 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
15	14	imaeq2d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16		c0ex 11240	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4774	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19		1ex 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	19	tpid2 4776	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22		2ex 12322	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
23	22	tpid3 4779	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
25	13, 18, 21, 24	fnimatp 32544	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26		s3fv0 14878	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28		s3fv1 14879	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	3, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30		s3fv2 14880	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
31	4, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
32	27, 29, 31	tpeq123d 4754	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
33	15, 25, 32	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
34	1, 33	eqtr3id 2779	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {ctp 4634  dom cdm 5678  ran crn 5679   “ cima 5681   Fn wfn 6544  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141  2c2 12300  3c3 12301  ..^cfzo 13662  ♯chash 14325  Word cword 14500  ⟨“cs3 14829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836

This theorem is referenced by:  cyc3co2  32953