Theorem s3rn 32099

Description: Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s3rn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s3rn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rn.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rn	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6067	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2		s3rn.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s3rn.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4		s3rn.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
5	2, 3, 4	s3cld 14819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		wrdfn 14474	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7		s3len 14841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13714	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	fneq2i 6644	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
12	11	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
13	5, 6, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
14	13	fndmd 6651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
15	14	imaeq2d 6057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16		c0ex 11204	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4771	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19		1ex 11206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	19	tpid2 4773	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22		2ex 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
23	22	tpid3 4776	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
25	13, 18, 21, 24	fnimatp 31889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26		s3fv0 14838	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28		s3fv1 14839	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	3, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30		s3fv2 14840	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
31	4, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
32	27, 29, 31	tpeq123d 4751	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
33	15, 25, 32	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
34	1, 33	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {ctp 4631  dom cdm 5675  ran crn 5676   “ cima 5678   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12263  3c3 12264  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460  ⟨“cs3 14789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796

This theorem is referenced by:  cyc3co2  32286