Theorem s7f1o 15011

Description: A length 7 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by AV, 2-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
s7f1o	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (𝐾 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ → 𝐾:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))

Proof of Theorem s7f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s7cli 14930	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
2		wrdf 14563	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))⟶V)
3		s7len 14947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = 7
4	3	oveq2i 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)) = (0..^7)
5	4	feq2i 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))⟶V ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)⟶V)
6		ffn 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)⟶V → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ Fn (0..^7))
7	5, 6	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))⟶V → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ Fn (0..^7))
8	1, 2, 7	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ Fn (0..^7)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ Fn (0..^7))
10		dffn4 6839	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ Fn (0..^7) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)
11	9, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)
12		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
14		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
19		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
20	19	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
21		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	21	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝑉)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
25	13, 15, 17, 18, 20, 22, 24	s7rn 15010	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
26		foeq3 6831	. . . . . 6 ⊢ (ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→ran ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))
28	11, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
30		7nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		hashfzo0 14475	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^7)) = 7)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^7)) = 7
33		hash7g 14531	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)
34	32, 33	eqtr4id 2793	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘(0..^7)) = (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))
35		fzofi 14021	. . . . 5 ⊢ (0..^7) ∈ Fin
36		tpfi 9389	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
37		snfi 9105	. . . . . . 7 ⊢ {𝐷} ∈ Fin
38		unfi 9234	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐷} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
39	36, 37, 38	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin
40		tpfi 9389	. . . . . 6 ⊢ {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin
41		unfi 9234	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin ∧ {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∈ Fin)
42	39, 40, 41	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∈ Fin
43		hashen 14392	. . . . 5 ⊢ (((0..^7) ∈ Fin ∧ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^7)) = (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) ↔ (0..^7) ≈ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))
44	35, 42, 43	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((♯‘(0..^7)) = (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) ↔ (0..^7) ≈ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
45	34, 44	sylib 218	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (0..^7) ≈ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
46	42	a1i 11	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∈ Fin)
47		fofinf1o 9396	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∧ (0..^7) ≈ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∧ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ∈ Fin) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
48	29, 45, 46, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}))
49		f1oeq1 6849	. 2 ⊢ (𝐾 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ → (𝐾:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))
50	48, 49	syl5ibrcom 247	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (𝐾 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ → 𝐾:(0..^7)–1-1-onto→(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  Vcvv 3482   ∪ cun 3968  {csn 4648  {ctp 4652   class class class wbr 5169  ran crn 5700   Fn wfn 6567  ⟶wf 6568  –onto→wfo 6570  –1-1-onto→wf1o 6571  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   ≈ cen 8996  Fincfn 8999  0cc0 11180  7c7 12349  ℕ₀cn0 12549  ..^cfzo 13707  ♯chash 14375  Word cword 14558  ⟨“cs7 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1lem  47756  usgrexmpl2lem  47761