Theorem usgrexmpl1edg 47841

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1edg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))

Proof of Theorem usgrexmpl1edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29086	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
3	2	fveq2i 6925	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		usgrexmpl1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
5	4	ovexi 7484	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		usgrexmpl1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
7		s7cli 14936	. . . . . 6 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V
8	6, 7	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		opiedgfv 29044	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
10	5, 8, 9	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
11	3, 10	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
12	11	rneqi 5962	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
13	6	rneqi 5962	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
14		prex 5452	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} ∈ V)
16		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {0, 2} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 2} ∈ V)
18		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {1, 2} ∈ V)
20		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 3} ∈ V)
22		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 4} ∈ V)
24		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {3, 5} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {3, 5} ∈ V)
26		prex 5452	. . . . . 6 ⊢ {4, 5} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {4, 5} ∈ V)
28	15, 17, 19, 21, 23, 25, 27	s7rn 15016	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V → ran ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
29	14, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
30		uncom 4181	. . . . 5 ⊢ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) = ({{0, 3}} ∪ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}})
31	30	uneq1i 4187	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) = (({{0, 3}} ∪ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
32		unass 4195	. . . 4 ⊢ (({{0, 3}} ∪ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
33	31, 32	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
34	13, 29, 33	3eqtri 2772	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
35	1, 12, 34	3eqtri 2772	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  ran crn 5701  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  2c2 12350  3c3 12351  4c4 12352  5c5 12353  ...cfz 13569  Word cword 14564  ⟨“cs7 14897  iEdgciedg 29034  Edgcedg 29084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900  df-s4 14901  df-s5 14902  df-s6 14903  df-s7 14904  df-iedg 29036  df-edg 29085

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  47842