Theorem sectepi 17507

Description: If 𝐹 is a section of 𝐺, then 𝐺 is an epimorphism. An epimorphism that arises from a section is also known as a split epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sectepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
sectepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
sectepi.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
sectepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
sectepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
sectepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
sectepi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sectepi	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐸𝑋))

Proof of Theorem sectepi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2		sectepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17439	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Sect‘(oppCat‘𝐶)) = (Sect‘(oppCat‘𝐶))
6		sectepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7	1	oppccat 17444	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9		sectepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		sectepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		sectepi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
12		sectepi.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
13	2, 1, 6, 9, 10, 12, 5	oppcsect 17501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))
14	11, 13	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹)
15	3, 4, 5, 8, 9, 10, 14	sectmon 17505	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
16		sectepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
17	1, 6, 4, 16	oppcmon 17461	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐸𝑋))
18	15, 17	eleqtrd 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  Catccat 17384  oppCatcoppc 17431  Monocmon 17451  Epicepi 17452  Sectcsect 17467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-hom 16997  df-cco 16998  df-cat 17388  df-cid 17389  df-oppc 17432  df-mon 17453  df-epi 17454  df-sect 17470

This theorem is referenced by: (None)