MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sectepi 16652
Description: If 𝐹 is a section of 𝐺, then 𝐺 is an epimorphism. An epimorphism that arises from a section is also known as a split epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
sectepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
sectepi.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
sectepi.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
sectepi.x (𝜑𝑋𝐵)
sectepi.y (𝜑𝑌𝐵)
sectepi.1 (𝜑𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
Assertion
Ref Expression
sectepi (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐸𝑋))

Proof of Theorem sectepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2 sectepi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 16586 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4 eqid 2771 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
5 eqid 2771 . . 3 (Sect‘(oppCat‘𝐶)) = (Sect‘(oppCat‘𝐶))
6 sectepi.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
71oppccat 16590 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9 sectepi.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
10 sectepi.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
11 sectepi.1 . . . 4 (𝜑𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
12 sectepi.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
132, 1, 6, 9, 10, 12, 5oppcsect 16646 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))
1411, 13mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹)
153, 4, 5, 8, 9, 10, 14sectmon 16650 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
16 sectepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝐶)
171, 6, 4, 16oppcmon 16606 . 2 (𝜑 → (𝑋(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐸𝑋))
1815, 17eleqtrd 2852 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐸𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  Catccat 16533  oppCatcoppc 16579  Monocmon 16596  Epicepi 16597  Sectcsect 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-hom 16175  df-cco 16176  df-cat 16537  df-cid 16538  df-oppc 16580  df-mon 16598  df-epi 16599  df-sect 16615
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator