Theorem episect 16903

Description: If 𝐹 is an epimorphism and 𝐹 is a section of 𝐺, then 𝐺 is an inverse of 𝐹 and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sectepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
sectepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
sectepi.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
sectepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
sectepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
sectepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
episect.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
episect.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
episect.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
episect	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Proof of Theorem episect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sectepi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2772	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
3		sectepi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		sectepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		sectepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		episect.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Inv‘(oppCat‘𝐶)) = (Inv‘(oppCat‘𝐶))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 16898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Inv‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝑁𝑌))
9	2, 1	oppcbas 16836	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
10		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
11		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Sect‘(oppCat‘𝐶)) = (Sect‘(oppCat‘𝐶))
12	2	oppccat 16840	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
14		episect.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
15		sectepi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
16	2, 3, 10, 15	oppcmon 16856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
17	14, 16	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
18		episect.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
19		sectepi.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
20	1, 2, 3, 5, 4, 19, 11	oppcsect 16896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))
21	18, 20	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹)
22	9, 10, 11, 13, 4, 5, 7, 17, 21	monsect 16901	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑌(Inv‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺)
23	8, 22	breqdi 4938	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  Catccat 16783  oppCatcoppc 16829  Monocmon 16846  Epicepi 16847  Sectcsect 16862  Invcinv 16863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-hom 16435  df-cco 16436  df-cat 16787  df-cid 16788  df-oppc 16830  df-mon 16848  df-epi 16849  df-sect 16865  df-inv 16866

This theorem is referenced by: (None)