Theorem episect 17796

Description: If 𝐹 is an epimorphism and 𝐹 is a section of 𝐺, then 𝐺 is an inverse of 𝐹 and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sectepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
sectepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
sectepi.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
sectepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
sectepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
sectepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
episect.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
episect.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
episect.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
episect	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Proof of Theorem episect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sectepi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
3		sectepi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		sectepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		sectepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		episect.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Inv‘(oppCat‘𝐶)) = (Inv‘(oppCat‘𝐶))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 17791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Inv‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝑁𝑌))
9	2, 1	oppcbas 17727	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
10		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
11		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Sect‘(oppCat‘𝐶)) = (Sect‘(oppCat‘𝐶))
12	2	oppccat 17732	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
14		episect.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
15		sectepi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
16	2, 3, 10, 15	oppcmon 17749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
17	14, 16	eleqtrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
18		episect.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
19		sectepi.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
20	1, 2, 3, 5, 4, 19, 11	oppcsect 17789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))
21	18, 20	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑋(Sect‘(oppCat‘𝐶))𝑌)𝐹)
22	9, 10, 11, 13, 4, 5, 7, 17, 21	monsect 17794	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑌(Inv‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺)
23	8, 22	breqdi 5160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  Catccat 17672  oppCatcoppc 17719  Monocmon 17739  Epicepi 17740  Sectcsect 17755  Invcinv 17756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-hom 17285  df-cco 17286  df-cat 17676  df-cid 17677  df-oppc 17720  df-mon 17741  df-epi 17742  df-sect 17758  df-inv 17759

This theorem is referenced by: (None)