Theorem setchom 18094

Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcbas.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
setchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))

Proof of Theorem setchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
2		setcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		setchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	setchomfval 18093	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
5		simprr 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
6		simprl 769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
7	5, 6	oveq12d 7431	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
8		setchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		setchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
10		ovexd 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m 𝑋) ∈ V)
11	4, 7, 8, 9, 10	ovmpod 7567	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8844  Hom chom 17269  SetCatcsetc 18089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-fz 13530  df-struct 17141  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-hom 17282  df-cco 17283  df-setc 18090

This theorem is referenced by:  elsetchom  18095  resssetc  18106  funcestrcsetclem8  18163  funcsetcestrclem8  18178  funcsetcestrclem9  18179  fthsetcestrc  18181  fullsetcestrc  18182  funcringcsetcALTV2lem8  47707  funcringcsetclem8ALTV  47730