Theorem setchom 18162

Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcbas.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
setchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))

Proof of Theorem setchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
2		setcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		setchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	setchomfval 18161	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
5		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
6		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
7	5, 6	oveq12d 7441	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
8		setchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		setchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
10		ovexd 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m 𝑋) ∈ V)
11	4, 7, 8, 9, 10	ovmpod 7575	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Hom chom 17346  SetCatcsetc 18157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-setc 18158

This theorem is used by:  elsetchom  18163  resssetc  18174  funcestrcsetclem8  18228  funcsetcestrclem8  18243  funcsetcestrclem9  18244  fthsetcestrc  18246  fullsetcestrc  18247  funcringcsetcALTV2lem8  49103  funcringcsetclem8ALTV  49126