Theorem smndex1igidOLD 18869

Description: Obsolete version of smndex1igid 18868 as of 2-Apr-2026. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1igidOLD	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igidOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5687	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
2	1	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
4	3	coeq2d 5812	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
6	5	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
7		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		nn0ex 12437	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7172	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6942	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	coeq2d 5812	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)))
12		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14		zmodidfzoimp 13854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
15	13, 14	sylan9eqr 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16		elfzonn0 13656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	12, 15, 16, 16	fvmptd2 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼‘𝐾) = 𝐾)
18	17	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼‘𝐾))
19	18	sneqd 4580	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼‘𝐾)})
20	19	xpeq2d 5655	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
21	10, 2	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
23	22, 12	fnmpti 6636	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
24		fcoconst 7082	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
25	23, 16, 24	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
26	20, 21, 25	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
27	4, 11, 26	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623   ∘ ccom 5629   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ..^cfzo 13602   mod cmo 13822  EndoFMndcefmnd 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823

This theorem is referenced by: (None)