Theorem smndex1basss 18813

Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})

Assertion

Ref	Expression
smndex1basss	⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss

Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1mgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
2	1	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
3		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
4	3	sneqd 4585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
5	4	cbviunv 4987	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} = ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}
6	5	uneq2i 4112	. . . . . 6 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)})
7	6	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
8	2, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
9		elun 4100	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
10		velsn 4589	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11		eliun 4943	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
12	10, 11	orbi12i 914	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
13	8, 9, 12	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
14		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
17	14, 15, 16	smndex1ibas 18808	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	14, 15, 16, 20	smndex1gbas 18810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23		elsni 4590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 = (𝐺‘𝑘))
24	23	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	rexlimiva 3125	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
28	19, 27	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
29	13, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
30	29	ssriv 3933	1 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ∪ ciun 4939   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554   mod cmo 13773  Basecbs 17120  EndoFMndcefmnd 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-efmnd 18777

This theorem is referenced by:  smndex1bas  18814  smndex1mgm  18815  smndex1sgrp  18816  smndex1mnd  18818  smndex1id  18819