Theorem smndex1basss 18881

Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})

Assertion

Ref	Expression
smndex1basss	⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss

Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1mgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
2	1	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
3		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
4	3	sneqd 4613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
5	4	cbviunv 5016	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} = ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}
6	5	uneq2i 4140	. . . . . 6 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)})
7	6	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
8	2, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
9		elun 4128	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
10		velsn 4617	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11		eliun 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
12	10, 11	orbi12i 914	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
13	8, 9, 12	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
14		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
17	14, 15, 16	smndex1ibas 18876	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	14, 15, 16, 20	smndex1gbas 18878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23		elsni 4618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 = (𝐺‘𝑘))
24	23	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	rexlimiva 3133	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
28	19, 27	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
29	13, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
30	29	ssriv 3962	1 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ∪ ciun 4967   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13669   mod cmo 13884  Basecbs 17226  EndoFMndcefmnd 18844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-tset 17288  df-efmnd 18845

This theorem is referenced by:  smndex1bas  18882  smndex1mgm  18883  smndex1sgrp  18884  smndex1mnd  18886  smndex1id  18887