Theorem smndex1basss 19104

Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})

Assertion

Ref	Expression
smndex1basss	⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss

Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1mgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
2	1	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
3		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
4	3	sneqd 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
5	4	cbviunv 4996	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} = ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}
6	5	uneq2i 4164	. . . . . 6 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)})
7	6	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
8	2, 7	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
9		elun 4152	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
10		velsn 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11		eliun 4954	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
12	10, 11	orbi12i 928	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
13	8, 9, 12	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
14		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
17	14, 15, 16	smndex1ibas 19096	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
19	17, 18	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	14, 15, 16, 20	smndex1gbas 19098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23		elsni 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 = (𝐺‘𝑘))
24	23	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
25	24	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
26	22, 25	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	rexlimiva 3155	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
28	19, 27	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
29	13, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
30	29	ssriv 3912	1 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4583  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ..^cfzo 13788   mod cmo 14009  Basecbs 17387  EndoFMndcefmnd 19064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-efmnd 19065

This theorem is used by:  smndex1bas  19105  smndex1mgm  19106  smndex1sgrp  19107  smndex1mnd  19109  smndex1id  19110