MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1basss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1basss 18856
Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) are endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
Assertion
Ref Expression
smndex1basss 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss
Dummy variables 𝑏 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1mgm.b . . . . . 6 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
21eleq2i 2817 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
3 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
43sneqd 4637 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
54cbviunv 5039 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} = βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}
65uneq2i 4154 . . . . . 6 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)})
76eleq2i 2817 . . . . 5 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
82, 7bitri 274 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
9 elun 4142 . . . 4 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
10 velsn 4641 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11 eliun 4996 . . . . 5 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
1210, 11orbi12i 912 . . . 4 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
138, 9, 123bitri 296 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
14 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
15 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ β„•
16 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
1714, 15, 16smndex1ibas 18851 . . . . 5 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
18 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑏 = 𝐼 β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
1917, 18mpbiri 257 . . . 4 (𝑏 = 𝐼 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
2114, 15, 16, 20smndex1gbas 18853 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2221adantr 479 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
23 elsni 4642 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
2423eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
2524adantl 480 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
2622, 25mpbird 256 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2726rexlimiva 3137 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2819, 27jaoi 855 . . 3 ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2913, 28sylbi 216 . 2 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3029ssriv 3977 1 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βˆͺ ciun 4992   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  ..^cfzo 13654   mod cmo 13861  Basecbs 17174  EndoFMndcefmnd 18819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18820
This theorem is referenced by:  smndex1bas  18857  smndex1mgm  18858  smndex1sgrp  18859  smndex1mnd  18861  smndex1id  18862
  Copyright terms: Public domain W3C validator