MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1basss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1basss 18918
Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) are endofunctions on 0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
Assertion
Ref Expression
smndex1basss 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss
Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1mgm.b . . . . . 6 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
21eleq2i 2833 . . . . 5 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
3 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
43sneqd 4638 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
54cbviunv 5040 . . . . . . 7 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} = 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}
65uneq2i 4165 . . . . . 6 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) = ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)})
76eleq2i 2833 . . . . 5 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
82, 7bitri 275 . . . 4 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
9 elun 4153 . . . 4 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
10 velsn 4642 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11 eliun 4995 . . . . 5 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)})
1210, 11orbi12i 915 . . . 4 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}))
138, 9, 123bitri 297 . . 3 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}))
14 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
16 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
1714, 15, 16smndex1ibas 18913 . . . . 5 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18 eleq1 2829 . . . . 5 (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
1917, 18mpbiri 258 . . . 4 (𝑏 = 𝐼𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
2114, 15, 16, 20smndex1gbas 18915 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23 elsni 4643 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑏 = (𝐺𝑘))
2423eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2726rexlimiva 3147 . . . 4 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2819, 27jaoi 858 . . 3 ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2913, 28sylbi 217 . 2 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
3029ssriv 3987 1 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   ciun 4991  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  Basecbs 17247  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by:  smndex1bas  18919  smndex1mgm  18920  smndex1sgrp  18921  smndex1mnd  18923  smndex1id  18924
  Copyright terms: Public domain W3C validator