Theorem smndex1basss 18785

Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})

Assertion

Ref	Expression
smndex1basss	⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss

Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1mgm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
2	1	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
3		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
4	3	sneqd 4640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
5	4	cbviunv 5043	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} = ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}
6	5	uneq2i 4160	. . . . . 6 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)})
7	6	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
8	2, 7	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
9		elun 4148	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}))
10		velsn 4644	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11		eliun 5001	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
12	10, 11	orbi12i 913	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
13	8, 9, 12	3bitri 296	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
14		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
17	14, 15, 16	smndex1ibas 18780	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
19	17, 18	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	14, 15, 16, 20	smndex1gbas 18782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23		elsni 4645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 = (𝐺‘𝑘))
24	23	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺‘𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
26	22, 25	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	rexlimiva 3147	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
28	19, 27	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
29	13, 28	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
30	29	ssriv 3986	1 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∪ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13626   mod cmo 13833  Basecbs 17143  EndoFMndcefmnd 18748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749

This theorem is referenced by:  smndex1bas  18786  smndex1mgm  18787  smndex1sgrp  18788  smndex1mnd  18790  smndex1id  18791