MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1basss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1basss 18842
Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) are endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
Assertion
Ref Expression
smndex1basss 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss
Dummy variables 𝑏 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1mgm.b . . . . . 6 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
21eleq2i 2820 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
3 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
43sneqd 4636 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
54cbviunv 5037 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} = βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}
65uneq2i 4156 . . . . . 6 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)})
76eleq2i 2820 . . . . 5 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
82, 7bitri 275 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
9 elun 4144 . . . 4 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
10 velsn 4640 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11 eliun 4995 . . . . 5 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
1210, 11orbi12i 913 . . . 4 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
138, 9, 123bitri 297 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
14 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
15 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ β„•
16 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
1714, 15, 16smndex1ibas 18837 . . . . 5 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
18 eleq1 2816 . . . . 5 (𝑏 = 𝐼 β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
1917, 18mpbiri 258 . . . 4 (𝑏 = 𝐼 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
2114, 15, 16, 20smndex1gbas 18839 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
23 elsni 4641 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
2423eleq1d 2813 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
2524adantl 481 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2726rexlimiva 3142 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2819, 27jaoi 856 . . 3 ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2913, 28sylbi 216 . 2 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3029ssriv 3982 1 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  ..^cfzo 13645   mod cmo 13852  Basecbs 17165  EndoFMndcefmnd 18805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-efmnd 18806
This theorem is referenced by:  smndex1bas  18843  smndex1mgm  18844  smndex1sgrp  18845  smndex1mnd  18847  smndex1id  18848
  Copyright terms: Public domain W3C validator