MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1basss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1basss 18930
Description: The modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) are endofunctions on 0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
Assertion
Ref Expression
smndex1basss 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1basss
Dummy variables 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1mgm.b . . . . . 6 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
21eleq2i 2830 . . . . 5 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
3 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
43sneqd 4642 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
54cbviunv 5044 . . . . . . 7 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} = 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}
65uneq2i 4174 . . . . . 6 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) = ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)})
76eleq2i 2830 . . . . 5 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
82, 7bitri 275 . . . 4 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
9 elun 4162 . . . 4 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
10 velsn 4646 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
11 eliun 4999 . . . . 5 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)})
1210, 11orbi12i 914 . . . 4 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}))
138, 9, 123bitri 297 . . 3 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}))
14 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
15 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
16 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
1714, 15, 16smndex1ibas 18925 . . . . 5 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
18 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑏 = 𝐼 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)))
1917, 18mpbiri 258 . . . 4 (𝑏 = 𝐼𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
2114, 15, 16, 20smndex1gbas 18927 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀))
23 elsni 4647 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑏 = (𝐺𝑘))
2423eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐺𝑘) ∈ (Base‘𝑀)))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2726rexlimiva 3144 . . . 4 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2819, 27jaoi 857 . . 3 ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)}) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
2913, 28sylbi 217 . 2 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
3029ssriv 3998 1 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cun 3960  wss 3962  {csn 4630   ciun 4995  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  cn 12263  0cn0 12523  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  Basecbs 17244  EndoFMndcefmnd 18893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894
This theorem is referenced by:  smndex1bas  18931  smndex1mgm  18932  smndex1sgrp  18933  smndex1mnd  18935  smndex1id  18936
  Copyright terms: Public domain W3C validator