Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sraring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraring 30980
 Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sraring.1 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sraring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sraring.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
21a1i 11 . . 3 (𝑉𝐵𝐵 = (Base‘𝑅))
3 sraring.1 . . . . . 6 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
43a1i 11 . . . . 5 (𝑉𝐵𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉𝐵)
65, 1sseqtrdi 4015 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
74, 6srabase 19942 . . . 4 (𝑉𝐵 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
81, 7syl5eq 2866 . . 3 (𝑉𝐵𝐵 = (Base‘𝐴))
94, 6sraaddg 19943 . . . 4 (𝑉𝐵 → (+g𝑅) = (+g𝐴))
109oveqdr 7176 . . 3 ((𝑉𝐵 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝐴)𝑦))
114, 6sramulr 19944 . . . 4 (𝑉𝐵 → (.r𝑅) = (.r𝐴))
1211oveqdr 7176 . . 3 ((𝑉𝐵 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
132, 8, 10, 12ringpropd 19324 . 2 (𝑉𝐵 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
1413biimpac 481 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Ringcrg 19289  subringAlg csra 19932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19232  df-ring 19291  df-sra 19936 This theorem is referenced by:  sradrng  30981  rgmoddim  31001  fedgmullem2  31019  ccfldsrarelvec  31049
 Copyright terms: Public domain W3C validator