Theorem sraring 21467

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
6	5, 1	sseqtrdi 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
7	4, 6	srabase 21458	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
8	1, 7	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
9	4, 6	sraaddg 21459	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 7449	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11	4, 6	sramulr 21460	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
12	11	oveqdr 7449	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
13	2, 8, 10, 12	ringpropd 20525	. 2 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
14	13	biimpac 484	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  Ringcrg 20465  subringAlg csra 21452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-mgp 20367  df-ring 20467  df-sra 21454

This theorem is used by:  sraassab  22182  sradrng  34261  fedgmullem2  34309  ccfldsrarelvec  34350  extdgfialglem1  34371