Theorem sraring 31681

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
6	5, 1	sseqtrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
7	4, 6	srabase 20452	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
8	1, 7	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
9	4, 6	sraaddg 20454	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 7300	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11	4, 6	sramulr 20456	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
12	11	oveqdr 7300	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
13	2, 8, 10, 12	ringpropd 19832	. 2 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
14	13	biimpac 479	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6432  Basecbs 16923  +_gcplusg 16973  ._rcmulr 16974  Ringcrg 19794  subringAlg csra 20441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-mgp 19732  df-ring 19796  df-sra 20445

This theorem is referenced by:  sradrng  31682  rgmoddim  31702  fedgmullem2  31720  ccfldsrarelvec  31750