Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sraring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraring 31681
Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sraring.1 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sraring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sraring.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
21a1i 11 . . 3 (𝑉𝐵𝐵 = (Base‘𝑅))
3 sraring.1 . . . . . 6 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
43a1i 11 . . . . 5 (𝑉𝐵𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉𝐵)
65, 1sseqtrdi 3976 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
74, 6srabase 20452 . . . 4 (𝑉𝐵 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
81, 7eqtrid 2792 . . 3 (𝑉𝐵𝐵 = (Base‘𝐴))
94, 6sraaddg 20454 . . . 4 (𝑉𝐵 → (+g𝑅) = (+g𝐴))
109oveqdr 7300 . . 3 ((𝑉𝐵 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝐴)𝑦))
114, 6sramulr 20456 . . . 4 (𝑉𝐵 → (.r𝑅) = (.r𝐴))
1211oveqdr 7300 . . 3 ((𝑉𝐵 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
132, 8, 10, 12ringpropd 19832 . 2 (𝑉𝐵 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
1413biimpac 479 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  cfv 6432  Basecbs 16923  +gcplusg 16973  .rcmulr 16974  Ringcrg 19794  subringAlg csra 20441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-mgp 19732  df-ring 19796  df-sra 20445
This theorem is referenced by:  sradrng  31682  rgmoddim  31702  fedgmullem2  31720  ccfldsrarelvec  31750
  Copyright terms: Public domain W3C validator