Theorem sraring 21149

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
6	5, 1	sseqtrdi 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
7	4, 6	srabase 21140	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
8	1, 7	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
9	4, 6	sraaddg 21141	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 7438	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11	4, 6	sramulr 21142	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
12	11	oveqdr 7438	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
13	2, 8, 10, 12	ringpropd 20253	. 2 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
14	13	biimpac 478	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Ringcrg 20198  subringAlg csra 21134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-mgp 20106  df-ring 20200  df-sra 21136

This theorem is referenced by:  sraassab  21833  sradrng  33627  rgmoddimOLD  33655  fedgmullem2  33675  ccfldsrarelvec  33717