Theorem stgrvtx 47856

Description: The vertices of the star graph S_N. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgrvtx	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))

Proof of Theorem stgrvtx

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrfv 47855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (StarGr‘𝑁) = {⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
2	1	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}))
3		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}
5		pwexg 5383	. . . . . . 7 ⊢ ((0...𝑁) ∈ V → 𝒫 (0...𝑁) ∈ V)
6	4, 5	rabexd 5345	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝑁) ∈ V → {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}} ∈ V)
7	6	resiexd 7235	. . . . 5 ⊢ ((0...𝑁) ∈ V → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}) ∈ V)
8	3, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}) ∈ V
9	3, 8	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ∈ V ∧ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}) ∈ V)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
11	10	struct2grvtx 29058	. . 3 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}}) ∈ V) → (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}) = (0...𝑁))
12	9, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), (0...𝑁)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...𝑁) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}) = (0...𝑁))
13	2, 12	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  ⟨cop 4636   I cid 5581   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  ℕ₀cn0 12523  ...cfz 13543  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  .efcedgf 29017  Vtxcvtx 29027  StarGrcstgr 47853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-stgr 47854

This theorem is referenced by:  stgrusgra  47861  stgrvtx0  47864  stgrorder  47865  stgrnbgr0  47866  isubgr3stgrlem4  47871  isubgr3stgrlem6  47873  isubgr3stgrlem7  47874