Theorem isubgr3stgrlem2 48459

Description: Lemma 2 for isubgr3stgr 48467. (Contributed by AV, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isubgr3stgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c	⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s	⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isubgr3stgrlem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isubgr3stgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		isubgr3stgr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
3		isubgr3stgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
4	2, 3	stgrorder 48455	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)
6		oveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
7		nn0cn 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	1, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	6, 10	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13		peano2nn0 12472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0
15		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	3	fvexi 6850	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
19		hashclb 14315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
21	17, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Fin)
22	2, 3	stgrvtx0 48454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑊)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑊
24		hashdifsn 14371	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 0 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
25	21, 23, 24	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
26		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = 𝑁)
27	12, 25, 26	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})))
28		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
29	1, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
30	29	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
31		isubgr3stgr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32	31	ovexi 7396	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		hashclb 14315	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
35	30, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → 𝑈 ∈ Fin)
36		diffi 9104	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
37	21, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
38		hasheqf1o 14306	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
39	35, 37, 38	syl2an2 687	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
40	27, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
41	5, 40	mpan 691	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ♯chash 14287  Vtxcvtx 29083  USGraphcusgr 29236   NeighbVtx cnbgr 29419   ClNeighbVtx cclnbgr 48310  StarGrcstgr 48443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29076  df-vtx 29085  df-stgr 48444

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem3  48460