Theorem isubgr3stgrlem2 47934

Description: Lemma 2 for isubgr3stgr 47942. (Contributed by AV, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isubgr3stgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c	⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s	⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isubgr3stgrlem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isubgr3stgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		isubgr3stgr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
3		isubgr3stgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
4	2, 3	stgrorder 47930	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)
6		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
7		nn0cn 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 11687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	1, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	6, 10	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13		peano2nn0 12566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0
15		eleq1 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	3	fvexi 6920	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
19		hashclb 14397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
21	17, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Fin)
22	2, 3	stgrvtx0 47929	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑊)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑊
24		hashdifsn 14453	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 0 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
25	21, 23, 24	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
26		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = 𝑁)
27	12, 25, 26	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})))
28		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
29	1, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
30	29	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
31		isubgr3stgr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32	31	ovexi 7465	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		hashclb 14397	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
35	30, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → 𝑈 ∈ Fin)
36		diffi 9215	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
37	21, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
38		hasheqf1o 14388	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
39	35, 37, 38	syl2an2 686	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
40	27, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
41	5, 40	mpan 690	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  {csn 4626  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29349   ClNeighbVtx cclnbgr 47805  StarGrcstgr 47918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-stgr 47919

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem3  47935