Theorem isubgr3stgrlem2 47970

Description: Lemma 2 for isubgr3stgr 47978. (Contributed by AV, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isubgr3stgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c	⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s	⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isubgr3stgrlem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isubgr3stgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		isubgr3stgr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
3		isubgr3stgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
4	2, 3	stgrorder 47966	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)
6		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
7		nn0cn 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 11609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	1, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	6, 10	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13		peano2nn0 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0
15		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	3	fvexi 6875	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
19		hashclb 14330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
21	17, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Fin)
22	2, 3	stgrvtx0 47965	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑊)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑊
24		hashdifsn 14386	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 0 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
25	21, 23, 24	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
26		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = 𝑁)
27	12, 25, 26	3eqtr4rd 2776	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})))
28		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
29	1, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
30	29	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
31		isubgr3stgr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32	31	ovexi 7424	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		hashclb 14330	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
35	30, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → 𝑈 ∈ Fin)
36		diffi 9145	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
37	21, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
38		hasheqf1o 14321	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
39	35, 37, 38	syl2an2 686	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
40	27, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
41	5, 40	mpan 690	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {csn 4592  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  USGraphcusgr 29083   NeighbVtx cnbgr 29266   ClNeighbVtx cclnbgr 47823  StarGrcstgr 47954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-edgf 28923  df-vtx 28932  df-stgr 47955

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem3  47971