Theorem isubgr3stgrlem2 48594

Description: Lemma 2 for isubgr3stgr 48602. (Contributed by AV, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isubgr3stgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c	⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s	⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isubgr3stgrlem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isubgr3stgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		isubgr3stgr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
3		isubgr3stgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
4	2, 3	stgrorder 48590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)
6		oveq1 7405	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
7		nn0cn 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan1 11613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	1, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	6, 10	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13		peano2nn0 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0
15		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
16	14, 15	mpbiri 260	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	3	fvexi 6883	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
19		hashclb 14373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
21	17, 20	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Fin)
22	2, 3	stgrvtx0 48589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑊)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑊
24		hashdifsn 14429	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 0 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
25	21, 23, 24	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
26		simpr3 1211	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = 𝑁)
27	12, 25, 26	3eqtr4rd 2810	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})))
28		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
29	1, 28	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = 𝑁 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
30	29	3ad2ant3 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
31		isubgr3stgr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32	31	ovexi 7432	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		hashclb 14373	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
35	30, 34	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → 𝑈 ∈ Fin)
36		diffi 9145	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
37	21, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
38		hasheqf1o 14364	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
39	35, 37, 38	syl2an2 696	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
40	27, 39	mpbid 234	. 2 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
41	5, 40	mpan 700	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈–1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903  {csn 4584  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Fincfn 8929  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11416  ℕ₀cn0 12483  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  USGraphcusgr 29352   NeighbVtx cnbgr 29535   ClNeighbVtx cclnbgr 48445  StarGrcstgr 48578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-hash 14346  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-edgf 29192  df-vtx 29201  df-stgr 48579

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem3  48595