Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isubgr3stgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isubgr3stgrlem2 47934
Description: Lemma 2 for isubgr3stgr 47942. (Contributed by AV, 16-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isubgr3stgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
isubgr3stgrlem2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem2
StepHypRef Expression
1 isubgr3stgr.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
2 isubgr3stgr.s . . . 4 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
3 isubgr3stgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
42, 3stgrorder 47930 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))
51, 4ax-mp 5 . 2 (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)
6 oveq1 7438 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
7 nn0cn 12536 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8 pncan1 11687 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
101, 9mp1i 13 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
116, 10eqtrd 2777 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
1211adantr 480 . . . 4 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
13 peano2nn0 12566 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑁 + 1) ∈ ℕ0
15 eleq1 2829 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1716adantr 480 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
183fvexi 6920 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
19 hashclb 14397 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
2117, 20mpbird 257 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Fin)
222, 3stgrvtx0 47929 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑊)
231, 22ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ 𝑊
24 hashdifsn 14453 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 0 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
2521, 23, 24sylancl 586 . . . 4 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘(𝑊 ∖ {0})) = ((♯‘𝑊) − 1))
26 simpr3 1197 . . . 4 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = 𝑁)
2712, 25, 263eqtr4rd 2788 . . 3 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})))
28 eleq1 2829 . . . . . . 7 ((♯‘𝑈) = 𝑁 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
291, 28mpbiri 258 . . . . . 6 ((♯‘𝑈) = 𝑁 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
30293ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
31 isubgr3stgr.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
3231ovexi 7465 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
33 hashclb 14397 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
3432, 33mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
3530, 34mpbird 257 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → 𝑈 ∈ Fin)
36 diffi 9215 . . . . 5 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
3721, 36syl 17 . . . 4 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin)
38 hasheqf1o 14388 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊 ∖ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
3935, 37, 38syl2an2 686 . . 3 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ((♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 ∖ {0})) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑈1-1-onto→(𝑊 ∖ {0})))
4027, 39mpbid 232 . 2 (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁)) → ∃𝑓 𝑓:𝑈1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
415, 40mpan 690 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = 𝑁) → ∃𝑓 𝑓:𝑈1-1-onto→(𝑊 ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  {csn 4626  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  0cn0 12526  chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29349   ClNeighbVtx cclnbgr 47805  StarGrcstgr 47918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-stgr 47919
This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem3  47935
  Copyright terms: Public domain W3C validator