Theorem stgrclnbgr0 48807

Description: All vertices of a star graph S_N are in the closed neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrclnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

Proof of Theorem stgrclnbgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 48804	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4	2	dfclnbgr4 48666	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
6	1, 2	stgrnbgr0 48806	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))
7	6	uneq2d 4122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)) = ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})))
8	3	snssd 4754	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {0} ⊆ 𝑉)
9		undif 4445	. . 3 ⊢ ({0} ⊆ 𝑉 ↔ ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
11	5, 7, 10	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  ℕ₀cn0 12523  Vtxcvtx 29405   NeighbVtx cnbgr 29744   ClNeighbVtx cclnbgr 48660  StarGrcstgr 48793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-hash 14389  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-edgf 29398  df-vtx 29407  df-iedg 29408  df-edg 29457  df-nbgr 29745  df-clnbgr 48661  df-stgr 48794

This theorem is used by: (None)