Theorem stgrclnbgr0 48470

Description: All vertices of a star graph S_N are in the closed neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrclnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

Proof of Theorem stgrclnbgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 48467	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4	2	dfclnbgr4 48329	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
6	1, 2	stgrnbgr0 48469	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))
7	6	uneq2d 4101	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)) = ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})))
8	3	snssd 4721	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {0} ⊆ 𝑉)
9		undif 4413	. . 3 ⊢ ({0} ⊆ 𝑉 ↔ ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
10	8, 9	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
11	5, 7, 10	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  ℕ₀cn0 12432  Vtxcvtx 29087   NeighbVtx cnbgr 29423   ClNeighbVtx cclnbgr 48323  StarGrcstgr 48456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29080  df-vtx 29089  df-iedg 29090  df-edg 29139  df-nbgr 29424  df-clnbgr 48324  df-stgr 48457

This theorem is referenced by: (None)