Theorem stgrclnbgr0 47932

Description: All vertices of a star graph S_N are in the closed neighborhood of the center. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
stgrvtx0.g	⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
stgrvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
stgrclnbgr0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

Proof of Theorem stgrclnbgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stgrvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (StarGr‘𝑁)
2		stgrvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	stgrvtx0 47929	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ 𝑉)
4	2	dfclnbgr4 47811	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)))
6	1, 2	stgrnbgr0 47931	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 NeighbVtx 0) = (𝑉 ∖ {0}))
7	6	uneq2d 4168	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝐺 NeighbVtx 0)) = ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})))
8	3	snssd 4809	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {0} ⊆ 𝑉)
9		undif 4482	. . 3 ⊢ ({0} ⊆ 𝑉 ↔ ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({0} ∪ (𝑉 ∖ {0})) = 𝑉)
11	5, 7, 10	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ClNeighbVtx 0) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  Vtxcvtx 29013   NeighbVtx cnbgr 29349   ClNeighbVtx cclnbgr 47805  StarGrcstgr 47918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-nbgr 29350  df-clnbgr 47806  df-stgr 47919

This theorem is referenced by: (None)