Theorem primefldchr 33564

Description: The characteristic of a prime field is the same as the characteristic of the main field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefldchr.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefldchr	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem primefldchr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefldchr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅)))
3		issdrg 20868	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1162	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3949	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	sdrgid 20872	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
8	7	ne0d 4303	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
9		subrgint 20679	. . . 4 ⊢ (((SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	5, 8, 9	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11		subrgchr 33496	. . 3 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
13	2, 12	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∩ cint 4916  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  SubRingcsubrg 20653  DivRingcdr 20812  SubDRingcsdrg 20866  chrcchr 21619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-od 19597  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-sdrg 20867  df-chr 21623

This theorem is referenced by: (None)