Theorem primefldchr 33744

Description: The characteristic of a prime field is the same as the characteristic of the main field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefldchr.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefldchr	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem primefldchr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefldchr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅)))
3		issdrg 20958	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	sdrgid 20962	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
8	7	ne0d 4291	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
9		subrgint 20761	. . . 4 ⊢ (((SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	5, 8, 9	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11		subrgchr 33678	. . 3 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
13	2, 12	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  SubRingcsubrg 20735  DivRingcdr 20894  SubDRingcsdrg 20956  chrcchr 21718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-od 19659  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-drng 20896  df-sdrg 20957  df-chr 21722

This theorem is used by: (None)