Theorem primefldchr 30888

Description: The characteristic of a prime field is the same as the characteristic of the main field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefldchr.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefldchr	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem primefldchr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefldchr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2	1	fveq2i 6670	. 2 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅)))
3		issdrg 19570	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1141	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3968	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	sdrgid 19571	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
8	7	ne0d 4298	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
9		subrgint 19553	. . . 4 ⊢ (((SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	5, 8, 9	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11		subrgchr 30886	. . 3 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘(𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))) = (chr‘𝑅))
13	2, 12	syl5eq 2867	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   ⊆ wss 3933  ∅c0 4288  ∩ cint 4873  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  Basecbs 16479   ↾_s cress 16480  DivRingcdr 19498  SubRingcsubrg 19527  SubDRingcsdrg 19568  chrcchr 20645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-seq 13368  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-od 18652  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-sdrg 19569  df-chr 20649

This theorem is referenced by: (None)