Theorem tglineinsn 28926

Description: If two distinct lines intersect, it is at a single point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineinsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineinsn.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineinsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineinsn	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑋})

Proof of Theorem tglineinsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineinsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineinsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10		tglineinsn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
13		tglineinsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tglineineq 28925	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑋)
16	15, 13	eqsnd 4796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑋})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904  {csn 4589  ran crn 5662  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkg 28731  df-cgrg 28789

This theorem is used by:  plngrotlem1  29078