Theorem tglineinsn 28972

Description: If two distinct lines intersect, it is at a single point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineinsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineinsn.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineinsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineinsn	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑋})

Proof of Theorem tglineinsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineinsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineinsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10		tglineinsn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
13		tglineinsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tglineineq 28971	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑋)
16	15, 13	eqsnd 4798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑋})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∩ cin 3905  {csn 4591  ran crn 5664  ‘cfv 6540  Basecbs 17295  TarskiGcstrkg 28751  Itvcitv 28757  LineGclng 28758

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573  df-concat 14630  df-s1 14657  df-s2 14913  df-s3 14914  df-trkgc 28772  df-trkgb 28773  df-trkgcb 28774  df-trkg 28777  df-cgrg 28835

This theorem is used by:  plngrotlem1  29124