Theorem tgoldbachgtda 33673

Description: Lemma for tgoldbachgtd 33674. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
tgoldbachgtda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
tgoldbachgtda.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14))
tgoldbachgtda.3	⊢ (𝜑 → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtda	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻,𝑥   𝑚,𝐾,𝑥   𝑚,𝑁,𝑥,𝑧   𝑚,𝑂,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem tgoldbachgtda

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtda.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3		tgoldbachgtda.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	tgoldbachgnn 33671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		3nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
8		inss2 4230	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
9		prmssnn 16613	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
10	8, 9	sstri 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
12	5, 7, 11	reprfi2 33635	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
13		tgoldbachgtda.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
14		tgoldbachgtda.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15		tgoldbachgtda.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		tgoldbachgtda.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		tgoldbachgtda.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17	tgoldbachgtde 33672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
19	18	gt0ne0d 11778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≠ 0)
20	19	neneqd 2946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0)
21		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅)
22	21	sumeq1d 15647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
23		sum0 15667	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0)
25	20, 24	mtand 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅)
26	25	neqned 2948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅)
27		hashnncl 14326	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅))
28	27	biimpar 479	. . 3 ⊢ ((((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅) → (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ)
29	12, 26, 28	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ)
30		nngt0 12243	. 2 ⊢ ((♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
31	29, 30	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   · cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≤ cle 11249  -cneg 11445  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ;cdc 12677  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  ↑cexp 14027  ♯chash 14290  Σcsu 15632  expce 16005  πcpi 16010   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608  ∫citg 25135  Λcvma 26596  _cdp2 32037  .cdp 32054  reprcrepr 33620  vtscvts 33647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-ros335 33657  ax-ros336 33658

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-r1 9759  df-rank 9760  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-pmtr 19310  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-dp2 32038  df-dp 32055  df-repr 33621  df-vts 33648

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  33674