Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtda Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtda 32224
Description: Lemma for tgoldbachgtd 32225. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtda.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtda.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
tgoldbachgtda.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
tgoldbachgtda.1 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
tgoldbachgtda.2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
tgoldbachgtda.3 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtda (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻,𝑥   𝑚,𝐾,𝑥   𝑚,𝑁,𝑥,𝑧   𝑚,𝑂,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem tgoldbachgtda
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtda.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 tgoldbachgtda.n . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑂)
3 tgoldbachgtda.0 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
41, 2, 3tgoldbachgnn 32222 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 12049 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 3nn0 12007 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
8 inss2 4130 . . . . . 6 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
9 prmssnn 16130 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
108, 9sstri 3896 . . . . 5 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
125, 7, 11reprfi2 32186 . . 3 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
13 tgoldbachgtda.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
14 tgoldbachgtda.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15 tgoldbachgtda.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
16 tgoldbachgtda.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
17 tgoldbachgtda.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17tgoldbachgtde 32223 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
1918gt0ne0d 11295 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≠ 0)
2019neneqd 2940 . . . . 5 (𝜑 → ¬ Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0)
21 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅)
2221sumeq1d 15164 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
23 sum0 15184 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ ∅ (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0
2422, 23eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅) → Σ𝑛 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = 0)
2520, 24mtand 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) = ∅)
2625neqned 2942 . . 3 (𝜑 → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅)
27 hashnncl 13832 . . . 4 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅))
2827biimpar 481 . . 3 ((((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁) ≠ ∅) → (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ)
2912, 26, 28syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ)
30 nngt0 11760 . 2 ((♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ ℕ → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
3129, 30syl 17 1 (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  {crab 3058  cin 3852  wss 3853  c0 4221   class class class wbr 5040  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  f cof 7436  Fincfn 8568  0cc0 10628  1c1 10629  ici 10630   · cmul 10633  +∞cpnf 10763   < clt 10766  cle 10767  -cneg 10962  cn 11729  2c2 11784  3c3 11785  4c4 11786  5c5 11787  7c7 11789  8c8 11790  9c9 11791  0cn0 11989  cz 12075  cdc 12192  (,)cioo 12834  [,)cico 12836  cexp 13534  chash 13795  Σcsu 15148  expce 15520  πcpi 15525  cdvds 15712  cprime 16125  citg 24383  Λcvma 25842  cdp2 30733  .cdp 30750  reprcrepr 32171  vtscvts 32198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-reg 9142  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-ac2 9976  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708  ax-ros335 32208  ax-ros336 32209
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-r1 9279  df-rank 9280  df-dju 9416  df-card 9454  df-acn 9457  df-ac 9629  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-fac 13739  df-bc 13768  df-hash 13796  df-word 13969  df-concat 14025  df-s1 14052  df-s2 14312  df-s3 14313  df-shft 14529  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-prod 15365  df-ef 15526  df-e 15527  df-sin 15528  df-cos 15529  df-tan 15530  df-pi 15531  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-prm 16126  df-pc 16287  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-pmtr 18701  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-cmp 22151  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cncf 23643  df-ovol 24229  df-vol 24230  df-mbf 24384  df-itg1 24385  df-itg2 24386  df-ibl 24387  df-itg 24388  df-0p 24435  df-limc 24631  df-dv 24632  df-ulm 25137  df-log 25313  df-cxp 25314  df-atan 25618  df-cht 25847  df-vma 25848  df-chp 25849  df-dp2 30734  df-dp 30751  df-repr 32172  df-vts 32199
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  32225
  Copyright terms: Public domain W3C validator