Theorem cnmgpabl 21289

Description: The unit group of the complex numbers is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmgpabl	⊢ 𝑀 ∈ Abel

Proof of Theorem cnmgpabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21249	. 2 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		cnfldbas 21231	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfld0 21252	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
4		cndrng 21257	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
5	2, 3, 4	drngui 20582	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6		cnmgpabl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7	5, 6	unitabl 20275	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ Abel)
8	1, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑀 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3937  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  0cc0 11105   ↾_s cress 17171  Abelcabl 19690  mulGrpcmgp 20028  CRingccrg 20128  ℂ_fldccnfld 21227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-cnfld 21228

This theorem is referenced by:  cnmsubglem  21291  dchrghm  27104