MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmgpabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmgpabl 20011
Description: The unit group of the complex numbers is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmgpabl.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmgpabl 𝑀 ∈ Abel

Proof of Theorem cnmgpabl
StepHypRef Expression
1 cncrng 19971 . 2 fld ∈ CRing
2 cnfldbas 19954 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfld0 19974 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
4 cndrng 19979 . . . 4 fld ∈ DivRing
52, 3, 4drngui 18953 . . 3 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6 cnmgpabl.m . . 3 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
75, 6unitabl 18866 . 2 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ Abel)
81, 7ax-mp 5 1 𝑀 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2156  cdif 3766  {csn 4370  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  s cress 16065  Abelcabl 18391  mulGrpcmgp 18687  CRingccrg 18746  fldccnfld 19950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-tpos 7583  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-fz 12546  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-cnfld 19951
This theorem is referenced by:  cnmsubglem  20013  dchrghm  25194
  Copyright terms: Public domain W3C validator