Theorem upgrimtrlslem1 49002

Description: Lemma 1 for upgrimtrls 49004. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrlslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
2		uspgruhgr 29765	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		uspgruhgr 29765	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
7	3, 6	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
9		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
11		upgrimwlk.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12	11	uhgrfun 29644	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
13	3, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
14		upgrimtrls.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15		trliswlk 30280	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
16	11	wlkf 30195	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
17		wrdf 14663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
18	17	ffdmd 6740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
19	16, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
20	14, 15, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
21	20	ffvelcdmda 7084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
22	11	iedgedg 29628	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
23	13, 21, 22	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
24		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
26	24, 25	uhgrimedgi 48988	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
27	8, 10, 23, 26	syl12anc 850	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  iEdgciedg 29575  Edgcedg 29625  UHGraphcuhgr 29634  USPGraphcuspgr 29729  Walkscwlks 30177  Trailsctrls 30273   GraphIso cgrim 48973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-upgr 29660  df-uspgr 29731  df-wlks 30180  df-trls 30275  df-grim 48976

This theorem is used by:  upgrimtrlslem2  49003  upgrimtrls  49004