Theorem upgrimtrlslem2 47898

Description: Lemma 2 for upgrimtrls 47899. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem upgrimtrlslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2		upgrimwlk.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3	2	uspgrf1oedg 29153	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
4		f1of1 6781	. . . 4 ⊢ (𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
5	1, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
9		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
10		upgrimtrls.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 47897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
12		edgval 29029	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
13	2	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐻) = 𝐽
14	13	rneqi 5890	. . . . . 6 ⊢ ran (iEdg‘𝐻) = ran 𝐽
15	12, 14	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran 𝐽
16	11, 15	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽)
17	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 47897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ (Edg‘𝐻))
18	17, 15	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)
19	16, 18	anim12dan 619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽))
20		f1ocnvfvrneq 7243	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻) ∧ ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
21	5, 19, 20	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
24	22, 23	grimf1o 47877	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
25		f1of1 6781	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
26	8, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
27		uspgruhgr 29164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
28	7, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
29		trliswlk 29676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
30	6	wlkf 29595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		wrdf 14459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
32		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
33	32	ffdmd 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
34	30, 31, 33	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
35	10, 29, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
36	35	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
37	22, 6	uhgrss 29044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
38	28, 36, 37	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
39	35	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼)
40	22, 6	uhgrss 29044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
41	28, 39, 40	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
42	38, 41	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺)))
43		f1imaeq 7222	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
44	26, 42, 43	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
45	6	uspgrf1oedg 29153	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
46		f1of1 6781	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
47	7, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
48	6	trlf1 29677	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
49		f1f 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
50		fdm 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51	50	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
53		f1eq2 6734	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
54	53	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
55	52, 54	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
56	10, 48, 55	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
57	47, 56	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
58		f1cofveqaeq 7214	. . . 4 ⊢ (((𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
59	57, 58	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
60	44, 59	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
61	21, 60	syld 47	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454  Vtxcvtx 28976  iEdgciedg 28977  Edgcedg 29027  UHGraphcuhgr 29036  USPGraphcuspgr 29128  Walkscwlks 29577  Trailsctrls 29669   GraphIso cgrim 47868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-upgr 29062  df-uspgr 29130  df-wlks 29580  df-trls 29671  df-grim 47871

This theorem is referenced by:  upgrimtrls  47899