Theorem upgrimtrlslem2 48004

Description: Lemma 2 for upgrimtrls 48005. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem upgrimtrlslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2		upgrimwlk.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3	2	uspgrf1oedg 29151	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
4		f1of1 6762	. . . 4 ⊢ (𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
5	1, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
9		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
10		upgrimtrls.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
12		edgval 29027	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
13	2	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐻) = 𝐽
14	13	rneqi 5876	. . . . . 6 ⊢ ran (iEdg‘𝐻) = ran 𝐽
15	12, 14	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran 𝐽
16	11, 15	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽)
17	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ (Edg‘𝐻))
18	17, 15	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)
19	16, 18	anim12dan 619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽))
20		f1ocnvfvrneq 7220	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻) ∧ ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
21	5, 19, 20	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
24	22, 23	grimf1o 47983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
25		f1of1 6762	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
26	8, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
27		uspgruhgr 29162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
28	7, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
29		trliswlk 29674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
30	6	wlkf 29593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		wrdf 14425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
32		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
33	32	ffdmd 6681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
34	30, 31, 33	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
35	10, 29, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
36	35	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
37	22, 6	uhgrss 29042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
38	28, 36, 37	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
39	35	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼)
40	22, 6	uhgrss 29042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
41	28, 39, 40	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
42	38, 41	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺)))
43		f1imaeq 7199	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
44	26, 42, 43	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
45	6	uspgrf1oedg 29151	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
46		f1of1 6762	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
47	7, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
48	6	trlf1 29675	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
49		f1f 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
50		fdm 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51	50	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
53		f1eq2 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
54	53	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
55	52, 54	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
56	10, 48, 55	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
57	47, 56	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
58		f1cofveqaeq 7191	. . . 4 ⊢ (((𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
59	57, 58	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
60	44, 59	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
61	21, 60	syld 47	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  Edgcedg 29025  UHGraphcuhgr 29034  USPGraphcuspgr 29126  Walkscwlks 29575  Trailsctrls 29667   GraphIso cgrim 47974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-uspgr 29128  df-wlks 29578  df-trls 29669  df-grim 47977

This theorem is referenced by:  upgrimtrls  48005