Theorem upgrimtrlslem2 47909

Description: Lemma 2 for upgrimtrls 47910. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem upgrimtrlslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2		upgrimwlk.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3	2	uspgrf1oedg 29107	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
4		f1of1 6802	. . . 4 ⊢ (𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
5	1, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
9		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
10		upgrimtrls.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 47908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
12		edgval 28983	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
13	2	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐻) = 𝐽
14	13	rneqi 5904	. . . . . 6 ⊢ ran (iEdg‘𝐻) = ran 𝐽
15	12, 14	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran 𝐽
16	11, 15	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽)
17	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 47908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ (Edg‘𝐻))
18	17, 15	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)
19	16, 18	anim12dan 619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽))
20		f1ocnvfvrneq 7264	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻) ∧ ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
21	5, 19, 20	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
22		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
24	22, 23	grimf1o 47888	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
25		f1of1 6802	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
26	8, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
27		uspgruhgr 29118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
28	7, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
29		trliswlk 29632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
30	6	wlkf 29549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		wrdf 14490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
32		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
33	32	ffdmd 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
34	30, 31, 33	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
35	10, 29, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
36	35	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
37	22, 6	uhgrss 28998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
38	28, 36, 37	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
39	35	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼)
40	22, 6	uhgrss 28998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
41	28, 39, 40	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
42	38, 41	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺)))
43		f1imaeq 7243	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
44	26, 42, 43	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
45	6	uspgrf1oedg 29107	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
46		f1of1 6802	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
47	7, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
48	6	trlf1 29633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
49		f1f 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
50		fdm 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51	50	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
53		f1eq2 6755	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
54	53	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
55	52, 54	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
56	10, 48, 55	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
57	47, 56	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
58		f1cofveqaeq 7235	. . . 4 ⊢ (((𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
59	57, 58	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
60	44, 59	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
61	21, 60	syld 47	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  UHGraphcuhgr 28990  USPGraphcuspgr 29082  Walkscwlks 29531  Trailsctrls 29625   GraphIso cgrim 47879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-uspgr 29084  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-grim 47882

This theorem is referenced by:  upgrimtrls  47910