Theorem upgrimtrlslem2 48593

Description: Lemma 2 for upgrimtrls 48594. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem upgrimtrlslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2		upgrimwlk.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3	2	uspgrf1oedg 29464	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
4		f1of1 6820	. . . 4 ⊢ (𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
5	1, 3, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
9		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
10		upgrimtrls.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
12		edgval 29340	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
13	2	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐻) = 𝐽
14	13	rneqi 5928	. . . . . 6 ⊢ ran (iEdg‘𝐻) = ran 𝐽
15	12, 14	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran 𝐽
16	11, 15	eleqtrdi 2879	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽)
17	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ (Edg‘𝐻))
18	17, 15	eleqtrdi 2879	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)
19	16, 18	anim12dan 630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽))
20		f1ocnvfvrneq 7285	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻) ∧ ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
21	5, 19, 20	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
22		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
24	22, 23	grimf1o 48572	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
25		f1of1 6820	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
26	8, 24, 25	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
27		uspgruhgr 29475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
28	7, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
29		trliswlk 29986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
30	6	wlkf 29905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		wrdf 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
32		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
33	32	ffdmd 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
34	30, 31, 33	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
35	10, 29, 34	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
36	35	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
37	22, 6	uhgrss 29355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
38	28, 36, 37	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
39	35	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼)
40	22, 6	uhgrss 29355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
41	28, 39, 40	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
42	38, 41	anim12dan 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺)))
43		f1imaeq 7264	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
44	26, 42, 43	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
45	6	uspgrf1oedg 29464	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
46		f1of1 6820	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
47	7, 45, 46	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
48	6	trlf1 29987	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
49		f1f 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
50		fdm 6716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51	50	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
52	49, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
53		f1eq2 6771	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
54	53	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
55	52, 54	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
56	10, 48, 55	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
57	47, 56	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
58		f1cofveqaeq 7256	. . . 4 ⊢ (((𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
59	57, 58	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
60	44, 59	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
61	21, 60	syld 48	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662  ran crn 5663   “ cima 5665  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  Edgcedg 29338  UHGraphcuhgr 29347  USPGraphcuspgr 29439  Walkscwlks 29887  Trailsctrls 29979   GraphIso cgrim 48563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-uspgr 29441  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-grim 48566

This theorem is referenced by:  upgrimtrls  48594