Theorem upgrimtrlslem2 48698

Description: Lemma 2 for upgrimtrls 48699. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrlslem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem upgrimtrlslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2		upgrimwlk.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3	2	uspgrf1oedg 29532	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
4		f1of1 6819	. . . 4 ⊢ (𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
5	1, 3, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
8		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
9		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
10		upgrimtrls.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
12		edgval 29408	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
13	2	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐻) = 𝐽
14	13	rneqi 5927	. . . . . 6 ⊢ ran (iEdg‘𝐻) = ran 𝐽
15	12, 14	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran 𝐽
16	11, 15	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽)
17	6, 2, 7, 1, 8, 9, 10	upgrimtrlslem1 48697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ (Edg‘𝐻))
18	17, 15	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)
19	16, 18	anim12dan 630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽))
20		f1ocnvfvrneq 7284	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1→(Edg‘𝐻) ∧ ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ ran 𝐽 ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ∈ ran 𝐽)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
21	5, 19, 20	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
24	22, 23	grimf1o 48677	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
25		f1of1 6819	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
26	8, 24, 25	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
27		uspgruhgr 29543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
28	7, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
29		trliswlk 30054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
30	6	wlkf 29973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		wrdf 14560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
32		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
33	32	ffdmd 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
34	30, 31, 33	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
35	10, 29, 34	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
36	35	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
37	22, 6	uhgrss 29423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
38	28, 36, 37	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
39	35	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼)
40	22, 6	uhgrss 29423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
41	28, 39, 40	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))
42	38, 41	anim12dan 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺)))
43		f1imaeq 7263	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
44	26, 42, 43	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
45	6	uspgrf1oedg 29532	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
46		f1of1 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
47	7, 45, 46	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺))
48	6	trlf1 30055	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
49		f1f 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
50		fdm 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51	50	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
52	49, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
53		f1eq2 6770	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
54	53	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ((0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
55	52, 54	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
56	10, 48, 55	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼)
57	47, 56	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼))
58		f1cofveqaeq 7255	. . . 4 ⊢ (((𝐼:dom 𝐼–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→dom 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
59	57, 58	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
60	44, 59	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
61	21, 60	syld 48	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  Edgcedg 29406  UHGraphcuhgr 29415  USPGraphcuspgr 29507  Walkscwlks 29955  Trailsctrls 30047   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-edg 29407  df-uhgr 29417  df-upgr 29441  df-uspgr 29509  df-wlks 29958  df-trls 30049  df-grim 48671

This theorem is used by:  upgrimtrls  48699