Theorem upgrimwlklem2 47902

Description: Lemma 2 for upgrimwlk 47906. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
3		upgrimwlk.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
4	3	uspgrf1oedg 29107	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
7		uspgruhgr 29118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
9		uspgruhgr 29118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
11	8, 10	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
13		upgrimwlk.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
15		upgrimwlk.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
16	15	uhgrfun 29000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → Fun 𝐼)
19		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
20		wrdf 14490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
21	20	ffdmd 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
23	22	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
24	15	iedgedg 28984	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
25	18, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
26		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
28	26, 27	uhgrimedgi 47894	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
29	12, 14, 25, 28	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
30		f1ocnvdm 7263	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
31	5, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
32		upgrimwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 32	fmptd 7089	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽)
34	15, 3, 6, 1, 13, 32, 19	upgrimwlklem1 47901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
35	34	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
36		iswrdb 14492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
37		fdm 6700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
38	37	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
39	36, 38	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
40	19, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
41	35, 40	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
42	41	feq2d 6675	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽))
43	33, 42	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
44		iswrdb 14492	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
45	43, 44	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   “ cima 5644  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  UHGraphcuhgr 28990  USPGraphcuspgr 29082   GraphIso cgrim 47879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-uspgr 29084  df-grim 47882

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  47906