Theorem upgrimwlklem2 47891

Description: Lemma 2 for upgrimwlk 47895. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
3		upgrimwlk.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
4	3	uspgrf1oedg 29153	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
7		uspgruhgr 29164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
9		uspgruhgr 29164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
11	8, 10	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
13		upgrimwlk.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
15		upgrimwlk.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
16	15	uhgrfun 29046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → Fun 𝐼)
19		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
20		wrdf 14459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
21	20	ffdmd 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
23	22	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
24	15	iedgedg 29030	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
25	18, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
28	26, 27	uhgrimedgi 47883	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
29	12, 14, 25, 28	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
30		f1ocnvdm 7242	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
31	5, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
32		upgrimwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 32	fmptd 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽)
34	15, 3, 6, 1, 13, 32, 19	upgrimwlklem1 47890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
35	34	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
36		iswrdb 14461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
37		fdm 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
38	37	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
39	36, 38	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
40	19, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
41	35, 40	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
42	41	feq2d 6654	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽))
43	33, 42	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
44		iswrdb 14461	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
45	43, 44	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454  iEdgciedg 28977  Edgcedg 29027  UHGraphcuhgr 29036  USPGraphcuspgr 29128   GraphIso cgrim 47868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-upgr 29062  df-uspgr 29130  df-grim 47871

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  47895