Theorem upgrimwlklem2 48691

Description: Lemma 2 for upgrimwlk 48695. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
3		upgrimwlk.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
4	3	uspgrf1oedg 29532	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
7		uspgruhgr 29543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
9		uspgruhgr 29543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
11	8, 10	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
13		upgrimwlk.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
15		upgrimwlk.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
16	15	uhgrfun 29425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → Fun 𝐼)
19		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
20		wrdf 14560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
21	20	ffdmd 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
23	22	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
24	15	iedgedg 29409	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
25	18, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
26		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
28	26, 27	uhgrimedgi 48683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
29	12, 14, 25, 28	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
30		f1ocnvdm 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
31	5, 29, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
32		upgrimwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 32	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽)
34	15, 3, 6, 1, 13, 32, 19	upgrimwlklem1 48690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
35	34	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
36		iswrdb 14562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
37		fdm 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
38	37	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
39	36, 38	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
40	19, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
41	35, 40	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
42	41	feq2d 6689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽))
43	33, 42	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
44		iswrdb 14562	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
45	43, 44	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555  iEdgciedg 29356  Edgcedg 29406  UHGraphcuhgr 29415  USPGraphcuspgr 29507   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-edg 29407  df-uhgr 29417  df-upgr 29441  df-uspgr 29509  df-grim 48671

This theorem is used by:  upgrimwlk  48695