Theorem upgrimwlklem2 48589

Description: Lemma 2 for upgrimwlk 48593. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
3		upgrimwlk.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
4	3	uspgrf1oedg 29466	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
6		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
7		uspgruhgr 29477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
9		uspgruhgr 29477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
11	8, 10	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
13		upgrimwlk.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
15		upgrimwlk.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
16	15	uhgrfun 29359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → Fun 𝐼)
19		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
20		wrdf 14557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
21	20	ffdmd 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶dom 𝐼)
23	22	ffvelcdmda 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
24	15	iedgedg 29343	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
25	18, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))
26		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
28	26, 27	uhgrimedgi 48581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
29	12, 14, 25, 28	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
30		f1ocnvdm 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
31	5, 29, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
32		upgrimwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 32	fmptd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽)
34	15, 3, 6, 1, 13, 32, 19	upgrimwlklem1 48588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
35	34	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
36		iswrdb 14559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
37		fdm 6718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
38	37	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
39	36, 38	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
40	19, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
41	35, 40	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
42	41	feq2d 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹⟶dom 𝐽))
43	33, 42	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
44		iswrdb 14559	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽)
45	43, 44	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5663  dom cdm 5664   “ cima 5667  Fun wfun 6533  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  iEdgciedg 29290  Edgcedg 29340  UHGraphcuhgr 29349  USPGraphcuspgr 29441   GraphIso cgrim 48566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-edg 29341  df-uhgr 29351  df-upgr 29375  df-uspgr 29443  df-grim 48569

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48593