Theorem usgrexmpl1vtx 47916

Description: The vertices 0, 1, 2, 3, 4, 5 of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1vtx	⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem usgrexmpl1vtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
3		usgrexmpl1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
4	3	ovexi 7446	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		usgrexmpl1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
6		s7cli 14905	. . . . 5 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V
7	5, 6	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
8		opvtxfv 28948	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
9	4, 7, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉
10	2, 9	eqtri 2757	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
11		fz0to5un2tp 13652	. 2 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
12	10, 3, 11	3eqtri 2761	1 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∪ cun 3929  {cpr 4608  {ctp 4610  ⟨cop 4612  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  0cc0 11136  1c1 11137  2c2 12302  3c3 12303  4c4 12304  5c5 12305  ...cfz 13528  Word cword 14533  ⟨“cs7 14866  Vtxcvtx 28940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-hash 14351  df-word 14534  df-concat 14590  df-s1 14615  df-s2 14868  df-s3 14869  df-s4 14870  df-s5 14871  df-s6 14872  df-s7 14873  df-vtx 28942

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1tri  47918