Theorem usgrexmpl1 48608

Description: 𝐺 is a simple graph of six vertices 0, 1, 2, 3, 4, 5, with edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1	⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Proof of Theorem usgrexmpl1

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
3	1, 2	usgrexmpl1lem 48607	. 2 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
4		usgrexmpl1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
5	4	eleq1i 2852	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
6	1	ovexi 7426	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		s7cli 14895	. . . . 5 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V
8	2, 7	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		isusgrop 29309	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
10	6, 8, 9	mp2an 702	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
11	5, 10	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
12	3, 11	mpbir 233	1 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4554  {cpr 4583  ⟨cop 4587  dom cdm 5645  –1-1→wf1 6514  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  ...cfz 13509  ♯chash 14340  Word cword 14523  ⟨“cs7 14856  USGraphcusgr 29296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-s4 14860  df-s5 14861  df-s6 14862  df-s7 14863  df-vtx 29145  df-iedg 29146  df-usgr 29298

This theorem is referenced by:  usgrexmpl12ngric  48624  usgrexmpl12ngrlic  48625