Theorem usgrexmpl1tri 47918

Description: 𝐺 contains a triangle 0, 1, 2, with corresponding edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1tri	⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Proof of Theorem usgrexmpl1tri

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11236	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4748	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 865	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4133	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		1ex 11238	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	6	tpid2 4750	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
8	7	orci 865	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
9		elun 4133	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
10	8, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
11		2ex 12324	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
12	11	tpid3 4753	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 865	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4133	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16	5, 10, 15	3pm3.2i 1339	. . 3 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
18		ex-hash 30399	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3
19		prex 5417	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	tpid1 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
21	20	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
22		elun 4133	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
23	21, 22	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
24	23	olci 866	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
25		elun 4133	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
26	24, 25	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
27		prex 5417	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 2} ∈ V
28	27	tpid2 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
29	28	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
30		elun 4133	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
31	29, 30	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
32	31	olci 866	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
33		elun 4133	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
34	32, 33	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
35		prex 5417	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 2} ∈ V
36	35	tpid3 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
37	36	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
38		elun 4133	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
39	37, 38	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
40	39	olci 866	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
41		elun 4133	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
42	40, 41	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
43	26, 34, 42	3pm3.2i 1339	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
44	17, 18, 43	3pm3.2i 1339	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
45		tpeq1 4722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {0, 𝑦, 𝑧})
46	45	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧}))
47		preq1 4713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦} = {0, 𝑦})
48	47	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
49		preq1 4713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑧} = {0, 𝑧})
50	49	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
51		biidd 262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
52	48, 50, 51	3anbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
53	46, 52	3anbi13d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
54		tpeq2 4723	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦, 𝑧} = {0, 1, 𝑧})
55	54	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧}))
56		preq2 4714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦} = {0, 1})
57	56	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
58		preq1 4713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦, 𝑧} = {1, 𝑧})
59	58	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
60	57, 59	3anbi13d 1439	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
61	55, 60	3anbi13d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
62		tpeq3 4724	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 1, 𝑧} = {0, 1, 2})
63	62	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}))
64		biidd 262	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
65		preq2 4714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 𝑧} = {0, 2})
66	65	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
67		preq2 4714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {1, 𝑧} = {1, 2})
68	67	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
69	64, 66, 68	3anbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
70	63, 69	3anbi13d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
71	53, 61, 70	rspc3ev 3622	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))) → ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
72	16, 44, 71	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
73		usgrexmpl1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
74		usgrexmpl1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
75		usgrexmpl1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
76	73, 74, 75	usgrexmpl1vtx 47916	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
77	76	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) = (Vtx‘𝐺)
78	73, 74, 75	usgrexmpl1edg 47917	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
79	78	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) = (Edg‘𝐺)
80	77, 79	isgrtri 47844	. 2 ⊢ ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
81	72, 80	mpbir 231	1 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Syntax hints:   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ∪ cun 3929  {csn 4606  {cpr 4608  {ctp 4610  ⟨cop 4612  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  0cc0 11136  1c1 11137  2c2 12302  3c3 12303  4c4 12304  5c5 12305  ...cfz 13528  ♯chash 14350  ⟨“cs7 14866  Vtxcvtx 28940  Edgcedg 28991  GrTrianglescgrtri 47838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-3o 8489  df-oadd 8491  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-hash 14351  df-word 14534  df-concat 14590  df-s1 14615  df-s2 14868  df-s3 14869  df-s4 14870  df-s5 14871  df-s6 14872  df-s7 14873  df-vtx 28942  df-iedg 28943  df-edg 28992  df-grtri 47839

This theorem is referenced by:  usgrexmpl12ngric  47931  usgrexmpl12ngrlic  47932