Theorem usgrexmpl1tri 49338

Description: 𝐺 contains a triangle 0, 1, 2, with corresponding edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1tri	⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Proof of Theorem usgrexmpl1tri

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11330	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4729	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 879	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		1eltp012 12443	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
7	6	orci 879	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
8		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
9	7, 8	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
10		2ex 12450	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
11	10	tpid3 4734	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 879	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15	5, 9, 14	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
17		ex-hash 31087	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3
18		prex 5401	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ V
19	18	tpid1 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
20	19	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
21		elun 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
22	20, 21	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
23	22	olci 880	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
24		elun 4155	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
25	23, 24	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
26		prex 5401	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 2} ∈ V
27	26	tpid2 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
28	27	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
29		elun 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
30	28, 29	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
31	30	olci 880	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
32		elun 4155	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
33	31, 32	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
34		prex 5401	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 2} ∈ V
35	34	tpid3 4734	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
36	35	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
37		elun 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
38	36, 37	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
39	38	olci 880	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
40		elun 4155	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
41	39, 40	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
42	25, 33, 41	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
43	16, 17, 42	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
44		tpeq1 4703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {0, 𝑦, 𝑧})
45	44	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧}))
46		preq1 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦} = {0, 𝑦})
47	46	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
48		preq1 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑧} = {0, 𝑧})
49	48	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
50		biidd 265	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
51	47, 49, 50	3anbi123d 1465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
52	45, 51	3anbi13d 1467	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
53		tpeq2 4704	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦, 𝑧} = {0, 1, 𝑧})
54	53	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧}))
55		preq2 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦} = {0, 1})
56	55	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
57		preq1 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦, 𝑧} = {1, 𝑧})
58	57	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
59	56, 58	3anbi13d 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
60	54, 59	3anbi13d 1467	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
61		tpeq3 4705	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 1, 𝑧} = {0, 1, 2})
62	61	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}))
63		biidd 265	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
64		preq2 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 𝑧} = {0, 2})
65	64	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
66		preq2 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {1, 𝑧} = {1, 2})
67	66	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
68	63, 65, 67	3anbi123d 1465	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
69	62, 68	3anbi13d 1467	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
70	52, 60, 69	rspc3ev 3596	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))) → ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
71	15, 43, 70	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
72		usgrexmpl1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
73		usgrexmpl1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
74		usgrexmpl1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
75	72, 73, 74	usgrexmpl1vtx 49336	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
76	75	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) = (Vtx‘𝐺)
77	72, 73, 74	usgrexmpl1edg 49337	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
78	77	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) = (Edg‘𝐺)
79	76, 78	isgrtri 49256	. 2 ⊢ ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
80	71, 79	mpbir 234	1 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  5c5 12430  ...cfz 13669  ♯chash 14504  ⟨“cs7 15028  Vtxcvtx 29607  Edgcedg 29658  GrTrianglescgrtri 49250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-3o 8509  df-oadd 8511  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031  df-s4 15032  df-s5 15033  df-s6 15034  df-s7 15035  df-vtx 29609  df-iedg 29610  df-edg 29659  df-grtri 49251

This theorem is used by:  usgrexmpl12ngric  49351  usgrexmpl12ngrlic  49352