Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrexmpl1tri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpl1tri 47842
Description: 𝐺 contains a triangle 0, 1, 2, with corresponding edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl1.v 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
usgrexmpl1tri {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Proof of Theorem usgrexmpl1tri
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11286 . . . . . . 7 0 ∈ V
21tpid1 4793 . . . . . 6 0 ∈ {0, 1, 2}
32orci 864 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4 elun 4176 . . . . 5 (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
53, 4mpbir 231 . . . 4 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6 1ex 11288 . . . . . . 7 1 ∈ V
76tpid2 4795 . . . . . 6 1 ∈ {0, 1, 2}
87orci 864 . . . . 5 (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
9 elun 4176 . . . . 5 (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
108, 9mpbir 231 . . . 4 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
11 2ex 12372 . . . . . . 7 2 ∈ V
1211tpid3 4798 . . . . . 6 2 ∈ {0, 1, 2}
1312orci 864 . . . . 5 (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
14 elun 4176 . . . . 5 (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
1513, 14mpbir 231 . . . 4 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
165, 10, 153pm3.2i 1339 . . 3 (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
17 eqid 2740 . . . 4 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
18 ex-hash 30487 . . . 4 (♯‘{0, 1, 2}) = 3
19 prex 5452 . . . . . . . . . 10 {0, 1} ∈ V
2019tpid1 4793 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
2120orci 864 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
22 elun 4176 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
2321, 22mpbir 231 . . . . . . 7 {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
2423olci 865 . . . . . 6 ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
25 elun 4176 . . . . . 6 ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
2624, 25mpbir 231 . . . . 5 {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
27 prex 5452 . . . . . . . . . 10 {0, 2} ∈ V
2827tpid2 4795 . . . . . . . . 9 {0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
2928orci 864 . . . . . . . 8 ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
30 elun 4176 . . . . . . . 8 ({0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
3129, 30mpbir 231 . . . . . . 7 {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
3231olci 865 . . . . . 6 ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
33 elun 4176 . . . . . 6 ({0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
3432, 33mpbir 231 . . . . 5 {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
35 prex 5452 . . . . . . . . . 10 {1, 2} ∈ V
3635tpid3 4798 . . . . . . . . 9 {1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
3736orci 864 . . . . . . . 8 ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
38 elun 4176 . . . . . . . 8 ({1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
3937, 38mpbir 231 . . . . . . 7 {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
4039olci 865 . . . . . 6 ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
41 elun 4176 . . . . . 6 ({1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
4240, 41mpbir 231 . . . . 5 {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
4326, 34, 423pm3.2i 1339 . . . 4 ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
4417, 18, 433pm3.2i 1339 . . 3 ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
45 tpeq1 4767 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {0, 𝑦, 𝑧})
4645eqeq2d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧}))
47 preq1 4758 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦} = {0, 𝑦})
4847eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
49 preq1 4758 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑧} = {0, 𝑧})
5049eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
51 biidd 262 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
5248, 50, 513anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
5346, 523anbi13d 1438 . . . 4 (𝑥 = 0 → (({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
54 tpeq2 4768 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → {0, 𝑦, 𝑧} = {0, 1, 𝑧})
5554eqeq2d 2751 . . . . 5 (𝑦 = 1 → ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧}))
56 preq2 4759 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → {0, 𝑦} = {0, 1})
5756eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
58 preq1 4758 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → {𝑦, 𝑧} = {1, 𝑧})
5958eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
6057, 593anbi13d 1438 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
6155, 603anbi13d 1438 . . . 4 (𝑦 = 1 → (({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
62 tpeq3 4769 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → {0, 1, 𝑧} = {0, 1, 2})
6362eqeq2d 2751 . . . . 5 (𝑧 = 2 → ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}))
64 biidd 262 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
65 preq2 4759 . . . . . . 7 (𝑧 = 2 → {0, 𝑧} = {0, 2})
6665eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → ({0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
67 preq2 4759 . . . . . . 7 (𝑧 = 2 → {1, 𝑧} = {1, 2})
6867eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → ({1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
6964, 66, 683anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑧 = 2 → (({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
7063, 693anbi13d 1438 . . . 4 (𝑧 = 2 → (({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
7153, 61, 70rspc3ev 3652 . . 3 (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))) → ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
7216, 44, 71mp2an 691 . 2 𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
73 usgrexmpl1.v . . . . 5 𝑉 = (0...5)
74 usgrexmpl1.e . . . . 5 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
75 usgrexmpl1.g . . . . 5 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
7673, 74, 75usgrexmpl1vtx 47840 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7776eqcomi 2749 . . 3 ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) = (Vtx‘𝐺)
7873, 74, 75usgrexmpl1edg 47841 . . . 4 (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
7978eqcomi 2749 . . 3 ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) = (Edg‘𝐺)
8077, 79isgrtri 47796 . 2 ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
8172, 80mpbir 231 1 {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  cop 4654  cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  2c2 12350  3c3 12351  4c4 12352  5c5 12353  ...cfz 13569  chash 14381  ⟨“cs7 14897  Vtxcvtx 29033  Edgcedg 29084  GrTrianglescgrtri 47790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-3o 8526  df-oadd 8528  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-dju 9972  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900  df-s4 14901  df-s5 14902  df-s6 14903  df-s7 14904  df-vtx 29035  df-iedg 29036  df-edg 29085  df-grtri 47791
This theorem is referenced by:  usgrexmpl12ngric  47855  usgrexmpl12ngrlic  47856
  Copyright terms: Public domain W3C validator