Theorem usgrexmpl1tri 48645

Description: 𝐺 contains a triangle 0, 1, 2, with corresponding edges {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1tri	⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Proof of Theorem usgrexmpl1tri

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11188	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4730	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 878	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4109	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		1ex 11191	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	6	tpid2 4732	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
8	7	orci 878	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
9		elun 4109	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
10	8, 9	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
11		2ex 12309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
12	11	tpid3 4735	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 878	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4109	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16	5, 10, 15	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
17		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
18		ex-hash 30713	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3
19		prex 5400	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	tpid1 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
21	20	orci 878	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
22		elun 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 1} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
23	21, 22	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
24	23	olci 879	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
25		elun 4109	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 1} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 1} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
26	24, 25	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
27		prex 5400	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 2} ∈ V
28	27	tpid2 4732	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
29	28	orci 878	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
30		elun 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {0, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
31	29, 30	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
32	31	olci 879	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
33		elun 4109	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({0, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {0, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
34	32, 33	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
35		prex 5400	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 2} ∈ V
36	35	tpid3 4735	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}
37	36	orci 878	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
38		elun 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∨ {1, 2} ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
39	37, 38	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})
40	39	olci 879	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
41		elun 4109	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ ({1, 2} ∈ {{0, 3}} ∨ {1, 2} ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
42	40, 41	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
43	26, 34, 42	3pm3.2i 1356	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
44	17, 18, 43	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
45		tpeq1 4704	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {0, 𝑦, 𝑧})
46	45	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧}))
47		preq1 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑦} = {0, 𝑦})
48	47	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
49		preq1 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥, 𝑧} = {0, 𝑧})
50	49	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
51		biidd 265	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
52	48, 50, 51	3anbi123d 1460	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
53	46, 52	3anbi13d 1462	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
54		tpeq2 4705	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦, 𝑧} = {0, 1, 𝑧})
55	54	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧}))
56		preq2 4696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {0, 𝑦} = {0, 1})
57	56	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
58		preq1 4695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦, 𝑧} = {1, 𝑧})
59	58	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ({𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
60	57, 59	3anbi13d 1462	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
61	55, 60	3anbi13d 1462	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (({0, 1, 2} = {0, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
62		tpeq3 4706	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 1, 𝑧} = {0, 1, 2})
63	62	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ↔ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}))
64		biidd 265	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
65		preq2 4696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {0, 𝑧} = {0, 2})
66	65	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
67		preq2 4696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 2 → {1, 𝑧} = {1, 2})
68	67	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → ({1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ↔ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
69	64, 66, 68	3anbi123d 1460	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))) ↔ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
70	63, 69	3anbi13d 1462	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (({0, 1, 2} = {0, 1, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))) ↔ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))))
71	53, 61, 70	rspc3ev 3601	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ ({0, 1, 2} = {0, 1, 2} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({0, 1} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {0, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {1, 2} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))) → ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
72	16, 44, 71	mp2an 704	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))))
73		usgrexmpl1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
74		usgrexmpl1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
75		usgrexmpl1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
76	73, 74, 75	usgrexmpl1vtx 48643	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
77	76	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) = (Vtx‘𝐺)
78	73, 74, 75	usgrexmpl1edg 48644	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
79	78	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) = (Edg‘𝐺)
80	77, 79	isgrtri 48563	. 2 ⊢ ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑦 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})∃𝑧 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})({0, 1, 2} = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘{0, 1, 2}) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))))
81	72, 80	mpbir 234	1 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐺)

Syntax hints:   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∪ cun 3905  {csn 4585  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  ...cfz 13526  ♯chash 14357  ⟨“cs7 14873  Vtxcvtx 29255  Edgcedg 29306  GrTrianglescgrtri 48557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-3o 8443  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-s4 14877  df-s5 14878  df-s6 14879  df-s7 14880  df-vtx 29257  df-iedg 29258  df-edg 29307  df-grtri 48558

This theorem is referenced by:  usgrexmpl12ngric  48658  usgrexmpl12ngrlic  48659