Theorem fz0to5un2tp 13580

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12313	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12555	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11142	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12256	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12281	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1349	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12547	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12263	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12350	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11265	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12789	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1349	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13498	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 699	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13577	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7369	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12322	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2750	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7370	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13529	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4682	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4098	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2764	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3882  {ctp 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   ≤ cle 11176  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48526  usgrexmpl2vtx  48531