Theorem fz0to5un2tp 13666

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12388	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12608	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12633	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12327	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12355	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11339	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12874	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1359	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12632	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12530	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12625	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12334	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12428	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11339	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12874	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1359	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13584	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13663	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12397	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13615	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4713	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4119	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2785	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902  {ctp 4592   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11250  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  5c5 12304  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  usgrexmpl1vtx  48816  usgrexmpl2vtx  48821