Theorem fz0to5un2tp 13688

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12409	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12629	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12654	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12348	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12376	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11360	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12896	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12653	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12646	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12355	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12449	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11360	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12896	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13606	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13685	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12418	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13637	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4712	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4116	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2785	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900  {ctp 4591   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  usgrexmpl1vtx  48926  usgrexmpl2vtx  48931