Theorem fz0to5un2tp 13576

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12309	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12526	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12551	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11137	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12252	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12277	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11260	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12550	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12543	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12246	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12259	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12346	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12785	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13494	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13573	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12318	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13525	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12312	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4693	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4107	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2760	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  {ctp 4572   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48511  usgrexmpl2vtx  48516