Theorem fz0to5un2tp 13528

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12259	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12476	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12502	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11111	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12202	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12227	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11233	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12735	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12501	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12494	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12196	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12209	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12296	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11233	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12735	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13446	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13525	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12268	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13477	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4701	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4116	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2754	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3900  {ctp 4580   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   ≤ cle 11144  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  5c5 12180  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48053  usgrexmpl2vtx  48058