Theorem fz0to5un2tp 13654

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12391	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12608	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12634	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11246	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12329	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12354	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11367	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12867	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12633	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12530	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12626	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12323	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12336	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12428	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11367	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12867	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1341	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13572	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13651	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12400	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7425	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13603	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4730	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4148	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2757	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3931  {ctp 4612   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ≤ cle 11279  2c2 12304  3c3 12305  4c4 12306  5c5 12307  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  47928  usgrexmpl2vtx  47933