Theorem fz0to5un2tp 13668

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12406	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12622	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12648	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11261	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12369	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11382	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12882	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12647	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12640	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12351	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12443	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11382	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12882	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1340	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13586	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13665	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12415	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13617	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4753	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4176	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2763	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961  {ctp 4635   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  47918  usgrexmpl2vtx  47923