Theorem fz0to5un2tp 13658

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12381	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12601	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12626	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11209	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12320	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11332	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12867	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12625	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12618	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12327	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12421	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11332	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12867	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1358	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13576	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13655	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12390	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13607	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12384	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4713	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4119	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2784	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3902  {ctp 4592   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   ≤ cle 11243  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48733  usgrexmpl2vtx  48738