Theorem fz0to5un2tp 13684

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12431	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12646	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12672	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11288	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12369	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12394	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11409	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12905	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12671	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12569	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12664	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12363	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12376	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12468	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11409	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12905	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1341	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13605	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 691	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13681	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7455	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12440	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7456	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13636	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12434	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4773	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4183	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2762	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ∪ cun 3968  {ctp 4652   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181   + caddc 11183   ≤ cle 11321  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  ℤcz 12635  ℤ_≥cuz 12899  ...cfz 13563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  47758  usgrexmpl2vtx  47763