Theorem fz0to5un2tp 13765

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12484	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12704	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12729	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11310	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12423	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12451	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11433	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12971	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12728	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12721	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12417	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12430	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12524	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11433	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12971	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13683	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13762	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12493	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13714	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12487	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4708	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4165	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2783	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4149  {ctp 4587   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  usgrexmpl1vtx  49121  usgrexmpl2vtx  49126