Theorem fz0to5un2tp 13533

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12269	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12511	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11121	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12212	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12237	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11243	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12744	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12510	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12503	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12206	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12219	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12306	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11243	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12744	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13451	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13530	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7362	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12278	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7363	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13482	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4700	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4115	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2756	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896  {ctp 4579   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   ≤ cle 11154  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48147  usgrexmpl2vtx  48152