Theorem fz0to5un2tp 13638

Description: An integer range from 0 to 5 is the union of two triples. (Contributed by AV, 30-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to5un2tp	⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Proof of Theorem fz0to5un2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12361	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12581	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12606	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11185	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12300	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12328	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11308	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12847	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1356	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12605	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		5nn0 12503	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	12	nn0zi 12598	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
14		2re 12294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		5re 12307	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
16		2lt5 12401	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
17	14, 15, 16	ltleii 11308	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 5
18		eluz2 12847	. . . 4 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 5))
19	11, 13, 17, 18	mpbir3an 1356	. . 3 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘2)
20		fzsplit2 13556	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 5 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)))
21	10, 19, 20	mp2an 702	. 2 ⊢ (0...5) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5))
22		fz0tp 13635	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
23	1	oveq1i 7408	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...5) = (3...5)
24		3p2e5 12370	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
25	24	eqcomi 2773	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
26	25	oveq2i 7409	. . . . 5 ⊢ (3...5) = (3...(3 + 2))
27		fztp 13587	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)})
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 2)) = {3, (3 + 1), (3 + 2)}
29		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ 3 = 3
30		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → 3 = 3)
31		3p1e4 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 1) = 4)
33	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 = 3 → (3 + 2) = 5)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4709	. . . . . 6 ⊢ (3 = 3 → {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5})
35	29, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1), (3 + 2)} = {3, 4, 5}
36	26, 28, 35	3eqtri 2791	. . . 4 ⊢ (3...5) = {3, 4, 5}
37	23, 36	eqtri 2787	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...5) = {3, 4, 5}
38	22, 37	uneq12i 4121	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...5)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
39	21, 38	eqtri 2787	1 ⊢ (0...5) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904  {ctp 4588   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11219  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1vtx  48650  usgrexmpl2vtx  48655