Theorem wlklenvclwlkOLD 27925

Description: Obsolete version of wlklenvclwlk 27924 as of 14-Jan-2024. The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlkOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlkOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5071	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlklenvp1 27888	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3		wlkcl 27885	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		wrdsymb1 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	s1cld 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6		ccatlenOLD 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
7	5, 6	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
8		s1len 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
10	9	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
12	11	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
13		lencl 14164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		eqcom 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
15		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
17		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
19		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addcan2d 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
21	20	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
22	14, 21	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
24	23	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
27	12, 26	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
28	27	com3l 89	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
29	2, 3, 28	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
30	1, 29	sylbir 234	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
31	30	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228  Vtxcvtx 27269  Walkscwlks 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-wlks 27869

This theorem is referenced by: (None)