Theorem wwlksn0s 30063

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12498	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 30039	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 30038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 12340	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9		simp2 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 11711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14		hashgt0n0 14380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 12292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 13691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 228	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3418	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  {crab 3416  Vcvv 3456  ∅c0 4287  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   − cmin 11416  ℕ₀cn0 12483  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528  Vtxcvtx 29199  Edgcedg 29250  WWalkscwwlks 30027   WWalksN cwwlksn 30028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-wwlks 30032  df-wwlksn 30033

This theorem is referenced by:  wwlksn0  30065  rusgrnumwwlkb0  30176