Theorem wwlksn0s 29881

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12541	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 29857	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 29856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14		hashgt0n0 14404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 13723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 226	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 575	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3438	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  WWalkscwwlks 29845   WWalksN cwwlksn 29846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851

This theorem is referenced by:  wwlksn0  29883  rusgrnumwwlkb0  29991