Theorem wwlksn0s 29837

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12393	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 29813	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 29812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 12239	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 11636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 5095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14		hashgt0n0 14269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 12194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 13580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 226	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 575	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3397	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {cpr 4578   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   < clt 11143   − cmin 11341  ℕ₀cn0 12378  ..^cfzo 13551  ♯chash 14234  Word cword 14417  Vtxcvtx 28972  Edgcedg 29023  WWalkscwwlks 29801   WWalksN cwwlksn 29802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-wwlks 29806  df-wwlksn 29807

This theorem is referenced by:  wwlksn0  29839  rusgrnumwwlkb0  29947