MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksn0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksn0s 29624
Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksn0s (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1}
Distinct variable group:   𝑀,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12491 . 2 0 ∈ β„•0
2 wwlksn 29600 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)})
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
4 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
53, 4iswwlks 29599 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6 0p1e1 12338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
76eqeq2i 2739 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘€) = (0 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘€) = 1)
85, 7anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
9 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
10 vex 3472 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ V
11 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
12 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) ↔ 0 < 1))
1311, 12mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ 0 < (β™―β€˜π‘€))
14 hashgt0n0 14330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ V ∧ 0 < (β™―β€˜π‘€)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
1510, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 ral0 4507 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)
19 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
20 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 1) = 0
2119, 20eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = 0)
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = (0..^0))
23 fzo0 13662 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^0) = βˆ…
2422, 23eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = βˆ…)
2524raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2618, 25mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2816, 17, 273jca 1125 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2928ex 412 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
309, 29impbid2 225 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
3130pm5.32ri 575 . . . . . 6 (((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
328, 31bitri 275 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
3332a1i 11 . . . 4 (0 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1)))
3433rabbidva2 3428 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)} = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1})
352, 34eqtrd 2766 . 2 (0 ∈ β„•0 β†’ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1})
361, 35ax-mp 5 1 (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  WWalkscwwlks 29588   WWalksN cwwlksn 29589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594
This theorem is referenced by:  wwlksn0  29626  rusgrnumwwlkb0  29734
  Copyright terms: Public domain W3C validator