MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksn0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksn0s 29692
Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksn0s (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1}
Distinct variable group:   𝑀,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12525 . 2 0 ∈ β„•0
2 wwlksn 29668 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)})
3 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
53, 4iswwlks 29667 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6 0p1e1 12372 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
76eqeq2i 2741 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘€) = (0 + 1) ↔ (β™―β€˜π‘€) = 1)
85, 7anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
9 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
10 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ V
11 0lt1 11774 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
12 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) ↔ 0 < 1))
1311, 12mpbiri 257 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ 0 < (β™―β€˜π‘€))
14 hashgt0n0 14364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ V ∧ 0 < (β™―β€˜π‘€)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
1510, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 ral0 4516 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)
19 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
20 1m1e0 12322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 1) = 0
2119, 20eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = 0)
2221oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = (0..^0))
23 fzo0 13696 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^0) = βˆ…
2422, 23eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = βˆ…)
2524raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2618, 25mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2816, 17, 273jca 1125 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘€) = 1 ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2928ex 411 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
309, 29impbid2 225 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘€) = 1 β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
3130pm5.32ri 574 . . . . . 6 (((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
328, 31bitri 274 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1))
3332a1i 11 . . . 4 (0 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)) ↔ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 1)))
3433rabbidva2 3432 . . 3 (0 ∈ β„•0 β†’ {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (0 + 1)} = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1})
352, 34eqtrd 2768 . 2 (0 ∈ β„•0 β†’ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1})
361, 35ax-mp 5 1 (0 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  {cpr 4634   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   βˆ’ cmin 11482  β„•0cn0 12510  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504  Vtxcvtx 28829  Edgcedg 28880  WWalkscwwlks 29656   WWalksN cwwlksn 29657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-wwlks 29661  df-wwlksn 29662
This theorem is referenced by:  wwlksn0  29694  rusgrnumwwlkb0  29802
  Copyright terms: Public domain W3C validator