MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksn0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksn0s 27210
Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksn0s (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}
Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11659 . 2 0 ∈ ℕ0
2 wwlksn 27186 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
53, 4iswwlks 27185 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6 0p1e1 11504 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
76eqeq2i 2790 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
85, 7anbi12i 620 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9 simp2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10 vex 3401 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
11 0lt1 10897 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
12 breq2 4890 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
1311, 12mpbiri 250 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14 hashgt0n0 13471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
1510, 13, 14sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
1615adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18 ral0 4299 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20 1m1e0 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
2119, 20syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
2221oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23 fzo0 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^0) = ∅
2422, 23syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
2524raleqdv 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2618, 25mpbiri 250 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2726adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2816, 17, 273jca 1119 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2928ex 403 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
309, 29impbid2 218 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3130pm5.32ri 571 . . . . . 6 (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
328, 31bitri 267 . . . . 5 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
3332a1i 11 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
3433rabbidva2 3383 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
352, 34eqtrd 2814 . 2 (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
361, 35ax-mp 5 1 (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398  c0 4141  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411  cmin 10606  0cn0 11642  ..^cfzo 12784  chash 13435  Word cword 13599  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395  WWalkscwwlks 27174   WWalksN cwwlksn 27175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-wwlks 27179  df-wwlksn 27180
This theorem is referenced by:  wwlksn0  27212  rusgrnumwwlkb0  27351
  Copyright terms: Public domain W3C validator