Theorem wwlksn0s 29115

Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksn0s	⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12487	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		wwlksn 29091	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	iswwlks 29090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		0p1e1 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
7	6	eqeq2i 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10		vex 3479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
11		0lt1 11736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12		breq2 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
13	11, 12	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14		hashgt0n0 14325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
15	10, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
16	15	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		ral0 4513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20		1m1e0 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 1) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
22	21	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23		fzo0 13656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^0) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
25	24	raleqdv 3326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	18, 25	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	26	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	16, 17, 27	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	28	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
30	9, 29	impbid2 225	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
31	30	pm5.32ri 577	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
32	8, 31	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
34	33	rabbidva2 3435	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
35	2, 34	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
36	1, 35	ax-mp 5	1 ⊢ (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  ∅c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  WWalkscwwlks 29079   WWalksN cwwlksn 29080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085

This theorem is referenced by:  wwlksn0  29117  rusgrnumwwlkb0  29225