MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksn0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksn0s 29881
Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 12-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksn0s (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}
Distinct variable group:   𝑤,𝐺

Proof of Theorem wwlksn0s
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12541 . 2 0 ∈ ℕ0
2 wwlksn 29857 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)})
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
53, 4iswwlks 29856 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6 0p1e1 12388 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
76eqeq2i 2750 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 1)
85, 7anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
9 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
11 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
12 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 1 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 1))
1311, 12mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑤) = 1 → 0 < (♯‘𝑤))
14 hashgt0n0 14404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ V ∧ 0 < (♯‘𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
1510, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ≠ ∅)
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18 ral0 4513 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
19 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
20 1m1e0 12338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
2119, 20eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 1 → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
2221oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
23 fzo0 13723 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^0) = ∅
2422, 23eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 1 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
2524raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2618, 25mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
2816, 17, 273jca 1129 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑤) = 1 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2928ex 412 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
309, 29impbid2 226 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 1 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3130pm5.32ri 575 . . . . . 6 (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
328, 31bitri 275 . . . . 5 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1))
3332a1i 11 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 1)))
3433rabbidva2 3438 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
352, 34eqtrd 2777 . 2 (0 ∈ ℕ0 → (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1})
361, 35ax-mp 5 1 (0 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  WWalkscwwlks 29845   WWalksN cwwlksn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851
This theorem is referenced by:  wwlksn0  29883  rusgrnumwwlkb0  29991
  Copyright terms: Public domain W3C validator