Theorem cshwidx0 14985

Description: The symbol at index 0 of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at index N of the original word. (Contributed by AV, 15-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidx0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem cshwidx0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14534	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2		elfzo0 13862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
3		elnnne0 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
4		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
5	4	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
6	5	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
7	3, 6	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
9	2, 8	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
10	9	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
11	1, 10	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
12	11	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
14	13	com12 33	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
15		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ≠ ∅)
18		elfzoelz 13820	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		cshwidx0mod 14984	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
22		zmodidfzoimp 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
23	22	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
24	23	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝑁))
25	21, 24	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
27	14, 26	pm2.61ine 3042	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227   < clt 11370  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ..^cfzo 13815   mod cmo 14036  ♯chash 14501  Word cword 14685   cyclShift ccsh 14967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-csh 14968

This theorem is used by:  clwwisshclwws  30636