Theorem cshwidx0 14958

Description: The symbol at index 0 of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at index N of the original word. (Contributed by AV, 15-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidx0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem cshwidx0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14508	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2		elfzo0 13836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
3		elnnne0 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
4		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
5	4	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
6	5	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
7	3, 6	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
9	2, 8	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
10	9	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
11	1, 10	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
12	11	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
14	13	com12 33	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
15		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ≠ ∅)
18		elfzoelz 13794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		cshwidx0mod 14957	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
22		zmodidfzoimp 14042	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
23	22	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
24	23	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝑁))
25	21, 24	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
27	14, 26	pm2.61ine 3038	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201   < clt 11344  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ..^cfzo 13789   mod cmo 14010  ♯chash 14475  Word cword 14659   cyclShift ccsh 14940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-substr 14790  df-pfx 14822  df-csh 14941

This theorem is used by:  clwwisshclwws  30607