Theorem cshwidx0 14752

Description: The symbol at index 0 of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at index N of the original word. (Contributed by AV, 15-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidx0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem cshwidx0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14319	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2		elfzo0 13669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
3		elnnne0 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
4		eqneqall 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
5	4	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
7	3, 6	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
8	7	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
9	2, 8	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
10	9	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
11	1, 10	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
12	11	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
13	12	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
14	13	com12 32	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
15		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ≠ ∅)
18		elfzoelz 13628	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		cshwidx0mod 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
22		zmodidfzoimp 13862	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
23	22	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = 𝑁)
24	23	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘(𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝑁))
25	21, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
26	25	ex 413	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
27	14, 26	pm2.61ine 3025	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   < clt 11244  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830  ♯chash 14286  Word cword 14460   cyclShift ccsh 14734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  29257