MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqrep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshweqrep 13850
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝐿   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
21oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (0 · 𝐿)))
32fvoveq1d 6864 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
43eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
54imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
6 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
76oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)))
87fvoveq1d 6864 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
98eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
109imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
11 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
1211oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
1312fvoveq1d 6864 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1413eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
1514imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
16 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
1716oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝐿)))
1817fvoveq1d 6864 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1918eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
2019imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
21 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
2221mul02d 10488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → (0 · 𝐿) = 0)
2322adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (0 · 𝐿) = 0)
2423adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (0 · 𝐿) = 0)
2524oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = (𝐼 + 0))
26 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2726zcnd 11730 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
2827addid1d 10490 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2928ad2antll 720 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
3025, 29eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = 𝐼)
3130oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32 zmodidfzoimp 12908 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3332ad2antll 720 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3431, 33eqtr2d 2800 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 = ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
3534fveq2d 6379 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
36 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 = (𝑊 cyclShift 𝐿) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3736eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3837ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3938adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
40 simprll 797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simprlr 798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
42 elfzo0 12717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
43 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℤ)
45 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
46 zmulcl 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4745, 46sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4847ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
49 zaddcl 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
5044, 48, 49syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
51 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5250, 51jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
5352ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
54533adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5542, 54sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5756expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℤ → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
6059imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
6160impcom 396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62 zmodfzo 12901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64 cshwidxmod 13832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
6540, 41, 63, 64syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
66 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
67 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
68 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
69 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
70 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
7170ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
72 readdcl 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7371, 72sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7473ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
76 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
77 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
78 modaddmod 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
80 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℂ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ ℂ)
8270recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8382ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
85 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8881, 84, 87addassd 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)))
89 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
91 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9290, 91, 86adddird 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) · 𝐿) = ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)))
9385mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℝ → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9594oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)) = ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿))
9692, 95eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9897oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
9988, 98eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
101100oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
10279, 101eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
103102ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
105104expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10767, 68, 106syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
108107com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10966, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
110109imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1111103adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11242, 111sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
113112expd 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
114113adantld 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
116115impcom 396 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
117116impcom 396 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
118117fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11939, 65, 1183eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
120119eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
121120biimpd 220 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
122121ex 401 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
123122a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
1245, 10, 15, 20, 35, 123nn0ind 11719 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
125124com12 32 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
126125ralrimiv 3112 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
127126ex 401 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  +crp 12028  ..^cfzo 12673   mod cmo 12876  chash 13321  Word cword 13486   cyclShift ccsh 13812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-substr 13617  df-pfx 13662  df-csh 13814
This theorem is referenced by:  cshw1  13851  cshwsidrepsw  16074
  Copyright terms: Public domain W3C validator