Theorem cshweqrep 14730

Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshweqrep	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝐿   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Proof of Theorem cshweqrep

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
2	1	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (0 · 𝐿)))
3	2	fvoveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
4	3	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
6		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
7	6	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)))
8	7	fvoveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
9	8	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
11		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
12	11	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
13	12	fvoveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
14	13	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15	14	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
16		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
17	16	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝐿)))
18	17	fvoveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
19	18	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
21		zcn 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
22	21	mul02d 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 · 𝐿) = 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 · 𝐿) = 0)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (0 · 𝐿) = 0)
25	24	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = (𝐼 + 0))
26		elfzoelz 13561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
28	27	addridd 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
29	28	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
30	25, 29	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = 𝐼)
31	30	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 13807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
34	31, 33	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 = ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
35	34	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
36		fveq1 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 = (𝑊 cyclShift 𝐿) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
37	36	eqcoms 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
38	37	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
40		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
42		elfzo0 13602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
43		nn0z 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℤ)
45		nn0z 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
46		zmulcl 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
47	45, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
49		zaddcl 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
50	44, 48, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
51		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
52	50, 51	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
54	53	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
55	42, 54	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
57	56	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
60	59	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
61	60	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62		zmodfzo 13800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64		cshwidxmod 14712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
65	40, 41, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
66		nn0re 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
67		zre 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
68		nn0re 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
69		nnrp 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
70		remulcl 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
71	70	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
72		readdcl 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
73	71, 72	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
74	73	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
76		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
77		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
78		modaddmod 13818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
80		recn 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℂ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ ℂ)
82	70	recnd 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
83	82	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
85		recn 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
88	81, 84, 87	addassd 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)))
89		recn 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
91		1cnd 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
92	90, 91, 86	adddird 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) · 𝐿) = ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)))
93	85	mullidd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → (1 · 𝐿) = 𝐿)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝐿) = 𝐿)
95	94	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)) = ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿))
96	92, 95	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
98	97	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
99	88, 98	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
101	100	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
102	79, 101	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
103	102	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
104	69, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
105	104	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
106	105	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
107	67, 68, 106	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
108	107	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
109	66, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
110	109	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
111	110	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
112	42, 111	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
113	112	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
114	113	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
116	115	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
117	116	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
118	117	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 65, 118	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
120	119	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
121	120	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
122	121	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
123	122	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
124	5, 10, 15, 20, 35, 123	nn0ind 12574	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
125	124	com12 32	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
126	125	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
127	126	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℝ⁺crp 12892  ..^cfzo 13556   mod cmo 13775  ♯chash 14239  Word cword 14422   cyclShift ccsh 14697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-csh 14698

This theorem is referenced by:  cshw1  14731  cshwsidrepsw  17007