MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqrep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshweqrep 14859
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝐿   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
21oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (0 · 𝐿)))
32fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
43eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
6 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
76oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)))
87fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
98eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
11 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
1312fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1413eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
16 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
1716oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝐿)))
1817fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1918eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
21 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
2221mul02d 11459 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → (0 · 𝐿) = 0)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (0 · 𝐿) = 0)
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (0 · 𝐿) = 0)
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = (𝐼 + 0))
26 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2726zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
2827addridd 11461 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2928ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
3025, 29eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = 𝐼)
3130oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32 zmodidfzoimp 13941 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3332ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3431, 33eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 = ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
3534fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
36 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 = (𝑊 cyclShift 𝐿) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3736eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3837ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3938adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
40 simprll 779 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simprlr 780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
42 elfzo0 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
43 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℤ)
45 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
46 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4745, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4847ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
49 zaddcl 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
5044, 48, 49syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
51 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5250, 51jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
5352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
54533adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5542, 54sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5756expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℤ → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
6059imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
6160impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62 zmodfzo 13934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64 cshwidxmod 14841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
6540, 41, 63, 64syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
66 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
67 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
68 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
69 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
70 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
7170ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
72 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7371, 72sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7473ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
76 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
77 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
78 modaddmod 13950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
80 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ ℂ)
8270recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8382ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
85 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8881, 84, 87addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)))
89 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
91 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9290, 91, 86adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) · 𝐿) = ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)))
9385mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℝ → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)) = ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿))
9692, 95eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9897oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
9988, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
101100oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
10279, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
103102ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
105104expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10767, 68, 106syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
108107com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10966, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
110109imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1111103adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11242, 111sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
113112expd 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
114113adantld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
116115impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
117116impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
118117fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11939, 65, 1183eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
120119eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
121120biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
122121ex 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
123122a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
1245, 10, 15, 20, 35, 123nn0ind 12713 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
125124com12 32 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
126125ralrimiv 3145 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
127126ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827
This theorem is referenced by:  cshw1  14860  cshwsidrepsw  17131
  Copyright terms: Public domain W3C validator