MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqrep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshweqrep 14709
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝐿   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
21oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (0 · 𝐿)))
32fvoveq1d 7379 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
43eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
6 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
76oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)))
87fvoveq1d 7379 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
98eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
11 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
1211oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
1312fvoveq1d 7379 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1413eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
16 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
1716oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝐿)))
1817fvoveq1d 7379 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1918eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
21 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
2221mul02d 11353 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → (0 · 𝐿) = 0)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (0 · 𝐿) = 0)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (0 · 𝐿) = 0)
2524oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = (𝐼 + 0))
26 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2726zcnd 12608 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
2827addid1d 11355 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2928ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
3025, 29eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = 𝐼)
3130oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32 zmodidfzoimp 13806 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3332ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3431, 33eqtr2d 2777 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 = ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
3534fveq2d 6846 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
36 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 = (𝑊 cyclShift 𝐿) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3736eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
3938adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
40 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
42 elfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
43 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℤ)
45 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
46 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4745, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
4847ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
49 zaddcl 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
5044, 48, 49syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
51 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5250, 51jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
54533adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5542, 54sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
5756expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℤ → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
6059imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
6160impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62 zmodfzo 13799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64 cshwidxmod 14691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
6540, 41, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
66 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
67 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
68 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
69 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
70 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
7170ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
72 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7371, 72sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7473ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
76 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
77 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
78 modaddmod 13815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
80 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℂ)
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ ℂ)
8270recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8382ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
85 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
8881, 84, 87addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)))
89 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
91 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9290, 91, 86adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) · 𝐿) = ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)))
9385mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℝ → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝐿) = 𝐿)
9594oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)) = ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿))
9692, 95eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
9897oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
9988, 98eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
101100oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
10279, 101eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
103102ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
105104expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10767, 68, 106syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
108107com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10966, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
110109imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1111103adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11242, 111sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
113112expd 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
114113adantld 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
116115impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
117116impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
118117fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
11939, 65, 1183eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
120119eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
121120biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
122121ex 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
123122a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
1245, 10, 15, 20, 35, 123nn0ind 12598 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
125124com12 32 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
126125ralrimiv 3142 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
127126ex 413 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  chash 14230  Word cword 14402   cyclShift ccsh 14676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677
This theorem is referenced by:  cshw1  14710  cshwsidrepsw  16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator