MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqrep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshweqrep 14716
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐ฟ   ๐‘—,๐‘‰   ๐‘—,๐‘Š

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ฟ) = (0 ยท ๐ฟ))
21oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) = (๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)))
32fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
43eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
54imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†” (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
6 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ฟ) = (๐‘ฆ ยท ๐ฟ))
76oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) = (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)))
87fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
98eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
109imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†” (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
11 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ฟ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ))
1211oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) = (๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)))
1312fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
1413eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
1514imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†” (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
16 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ฟ) = (๐‘— ยท ๐ฟ))
1716oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) = (๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)))
1817fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
1918eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
2019imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฅ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†” (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
21 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
2221mul02d 11360 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท ๐ฟ) = 0)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐ฟ) = 0)
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (0 ยท ๐ฟ) = 0)
2524oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) = (๐ผ + 0))
26 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
2827addid1d 11362 . . . . . . . . . 10 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ (๐ผ + 0) = ๐ผ)
2928ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐ผ + 0) = ๐ผ)
3025, 29eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) = ๐ผ)
3130oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (๐ผ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
32 zmodidfzoimp 13813 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ (๐ผ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ๐ผ)
3332ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐ผ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ๐ผ)
3431, 33eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ๐ผ = ((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
3534fveq2d 6851 . . . . 5 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (0 ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
36 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Š = (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3736eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3938adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
40 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰)
41 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
42 elfzo0 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
43 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
45 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
46 zmulcl 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„ค)
4745, 46sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„ค)
4847ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„ค)
49 zaddcl 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค)
5044, 48, 49syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค)
51 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)
5250, 51jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))
5352ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)))
54533adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)))
5542, 54sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)))
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)))
5756expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))))
6059imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)))
6160impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))
62 zmodfzo 13806 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
64 cshwidxmod 14698 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
6540, 41, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ)โ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
66 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
67 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
68 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
69 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+)
70 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„)
7170ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„)
72 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„)
7371, 72sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„)
7473ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„)
76 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
77 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+)
78 modaddmod 13822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
80 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ผ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
8270recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„‚)
8382ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„‚)
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฟ) โˆˆ โ„‚)
85 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐ฟ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
8685adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
8881, 84, 87addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) = (๐ผ + ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + ๐ฟ)))
89 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
91 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9290, 91, 86adddird 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ) = ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + (1 ยท ๐ฟ)))
9385mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐ฟ โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท ๐ฟ) = ๐ฟ)
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท ๐ฟ) = ๐ฟ)
9594oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + (1 ยท ๐ฟ)) = ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + ๐ฟ))
9692, 95eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + ๐ฟ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + ๐ฟ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ))
9897oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ + ((๐‘ฆ ยท ๐ฟ) + ๐ฟ)) = (๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)))
9988, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) = (๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) = (๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)))
101100oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
10279, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
103102ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„+ โ†’ (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
105104expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
10767, 68, 106syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
108107com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ โ„ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
10966, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
110109imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
1111103adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
11242, 111sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
113112expd 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
114113adantld 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
115114adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
116115impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
117116impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
118117fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) + ๐ฟ) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
11939, 65, 1183eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
120119eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
121120biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
122121ex 414 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
123122a2d 29 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘ฆ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))))
1245, 10, 15, 20, 35, 123nn0ind 12605 . . . 4 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
125124com12 32 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
126125ralrimiv 3143 . 2 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
127126ex 414 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐ผ) = (๐‘Šโ€˜((๐ผ + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781  โ™ฏchash 14237  Word cword 14409   cyclShift ccsh 14683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-csh 14684
This theorem is referenced by:  cshw1  14717  cshwsidrepsw  16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator