Theorem cshweqrep 14855

Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshweqrep	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝐿   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Proof of Theorem cshweqrep

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
2	1	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (0 · 𝐿)))
3	2	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
4	3	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
6		oveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
7	6	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)))
8	7	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
9	8	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
11		oveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
12	11	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
13	12	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
14	13	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15	14	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
16		oveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
17	16	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝐿)))
18	17	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
19	18	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑥 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
21		zcn 12615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
22	21	mul02d 11456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 · 𝐿) = 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 · 𝐿) = 0)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (0 · 𝐿) = 0)
25	24	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = (𝐼 + 0))
26		elfzoelz 13695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
28	27	addridd 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
29	28	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
30	25, 29	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (0 · 𝐿)) = 𝐼)
31	30	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 13937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
34	31, 33	eqtr2d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 = ((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
35	34	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (0 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
36		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 = (𝑊 cyclShift 𝐿) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
37	36	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
38	37	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
40		simprll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		simprlr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
42		elfzo0 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
43		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℤ)
45		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
46		zmulcl 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
47	45, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ)
49		zaddcl 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
50	44, 48, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ)
51		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
52	50, 51	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
54	53	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
55	42, 54	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
57	56	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))))
60	59	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
61	60	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62		zmodfzo 13930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64		cshwidxmod 14837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
65	40, 41, 63, 64	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿)‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))))
66		nn0re 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
67		zre 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
68		nn0re 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
69		nnrp 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
70		remulcl 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
71	70	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ)
72		readdcl 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐿) ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
73	71, 72	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
74	73	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ)
76		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
77		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
78		modaddmod 13946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)))
80		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℂ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ ℂ)
82	70	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
83	82	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑦 · 𝐿) ∈ ℂ)
85		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
88	81, 84, 87	addassd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)))
89		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
91		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
92	90, 91, 86	adddird 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) · 𝐿) = ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)))
93	85	mullidd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → (1 · 𝐿) = 𝐿)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝐿) = 𝐿)
95	94	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + (1 · 𝐿)) = ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿))
96	92, 95	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿) = ((𝑦 + 1) · 𝐿))
98	97	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 + ((𝑦 · 𝐿) + 𝐿)) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
99	88, 98	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) = (𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)))
101	100	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → (((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
102	79, 101	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
103	102	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
104	69, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
105	104	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
106	105	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
107	67, 68, 106	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ ℝ → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
108	107	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
109	66, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
110	109	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
111	110	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
112	42, 111	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
113	112	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
114	113	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
116	115	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
117	116	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))
118	117	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) + 𝐿) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 65, 118	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
120	119	eqeq2d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
121	120	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
122	121	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
123	122	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑦 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + ((𝑦 + 1) · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))))
124	5, 10, 15, 20, 35, 123	nn0ind 12710	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
125	124	com12 32	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
126	125	ralrimiv 3142	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
127	126	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℝ⁺crp 13031  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  ♯chash 14365  Word cword 14548   cyclShift ccsh 14822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-csh 14823

This theorem is referenced by:  cshw1  14856  cshwsidrepsw  17127