MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxmodr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxmodr 14842
Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxmodr ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13740 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
323ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4 zsubcl 12659 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
53, 4sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
6 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
75, 6jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
87ex 412 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
91, 8sylbi 217 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
109impcom 407 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11103adant1 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
12 zmodfzo 13934 . . . 4 (((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14 cshwidxmod 14841 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
1513, 14syld3an3 1411 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
16 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1817, 4sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
1918zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℝ)
20 zre 12617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
2322ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
24 modaddmod 13950 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2519, 21, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
26 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29 npcan 11517 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
3130oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32 zmodidfzoimp 13941 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3332ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3425, 31, 333eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3534fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
3635ex 412 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼)))
3736ex 412 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
38373adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
391, 38sylbi 217 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
4039pm2.43i 52 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼)))
4140impcom 407 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
42413adant1 1131 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
4315, 42eqtrd 2777 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827
This theorem is referenced by:  cshwrnid  32946
  Copyright terms: Public domain W3C validator