Theorem cshwidxmodr 14728

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxmodr	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13621	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nn0z 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
6		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
9	1, 8	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
10	9	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
12		zmodfzo 13816	. . . 4 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		cshwidxmod 14727	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
15	13, 14	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
16		elfzoelz 13580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17, 4	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	zred 12598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ)
20		zre 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		nnrp 12923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
23	22	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
24		modaddmod 13834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
26		nn0cn 12412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28		zcn 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		npcan 11390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
31	30	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 13823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
34	25, 31, 33	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
35	34	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
37	36	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
38	37	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
39	1, 38	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
40	39	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
41	40	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
42	41	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
43	15, 42	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   < clt 11168   − cmin 11365  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911  ..^cfzo 13575   mod cmo 13791  ♯chash 14255  Word cword 14438   cyclShift ccsh 14712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713

This theorem is referenced by:  cshwrnid  32916