Theorem cshwidxmodr 14719

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxmodr	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nn0z 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
6		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	5, 6	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
9	1, 8	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
10	9	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
12		zmodfzo 13824	. . . 4 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		cshwidxmod 14718	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
15	13, 14	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
16		elfzoelz 13597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17, 4	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	zred 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ)
20		zre 12527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		nnrp 12950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
23	22	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
24		modaddmod 13840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
26		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28		zcn 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		npcan 11434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
31	30	oveq1d 7392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 13831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
34	25, 31, 33	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
35	34	fveq2d 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
36	35	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
37	36	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
38	37	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
39	1, 38	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
40	39	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
41	40	impcom 408	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
42	41	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
43	15, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11213   − cmin 11409  ℕcn 12177  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12523  ℝ⁺crp 12939  ..^cfzo 13592   mod cmo 13799  ♯chash 14255  Word cword 14429   cyclShift ccsh 14703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-mod 13800  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-csh 14704

This theorem is referenced by:  cshwrnid  31919