Proof of Theorem cshwidxmodr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elfzo0 13428 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
↔ (𝐼 ∈
ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊))) |
2 | | nn0z 12343 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ∈
ℤ) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) →
𝐼 ∈
ℤ) |
4 | | zsubcl 12362 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ) |
5 | 3, 4 | sylan 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
(𝐼 − 𝑁) ∈
ℤ) |
6 | | simpl2 1191 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
(♯‘𝑊) ∈
ℕ) |
7 | 5, 6 | jca 512 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑊) ∈
ℕ)) |
8 | 7 | ex 413 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) →
(𝑁 ∈ ℤ →
((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑊) ∈
ℕ))) |
9 | 1, 8 | sylbi 216 |
. . . . . 6
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝑁 ∈ ℤ
→ ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑊) ∈
ℕ))) |
10 | 9 | impcom 408 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊)))
→ ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑊) ∈
ℕ)) |
11 | 10 | 3adant1 1129 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈
ℕ)) |
12 | | zmodfzo 13614 |
. . . 4
⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) |
14 | | cshwidxmod 14516 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))) |
15 | 13, 14 | syld3an3 1408 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))) |
16 | | elfzoelz 13387 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ 𝐼 ∈
ℤ) |
17 | 16 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ) |
18 | 17, 4 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ) |
19 | 18 | zred 12426 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ) |
20 | | zre 12323 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
21 | 20 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ) |
22 | | nnrp 12741 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈
ℝ+) |
23 | 22 | ad3antlr 728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈
ℝ+) |
24 | | modaddmod 13630 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
→ ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) |
25 | 19, 21, 23, 24 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) |
26 | | nn0cn 12243 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ∈
ℂ) |
27 | 26 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ) |
28 | | zcn 12324 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℂ) |
29 | | npcan 11230 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼) |
30 | 27, 28, 29 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼) |
31 | 30 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊))) |
32 | | zmodidfzoimp 13621 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝐼 mod
(♯‘𝑊)) = 𝐼) |
33 | 32 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼) |
34 | 25, 31, 33 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼) |
35 | 34 | fveq2d 6778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)) |
36 | 35 | ex 413 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) ∧ 𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))) |
37 | 36 | ex 413 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ) → (𝐼
∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))) |
38 | 37 | 3adant3 1131 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑊)
∈ ℕ ∧ 𝐼 <
(♯‘𝑊)) →
(𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝑁 ∈ ℤ
→ (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))) |
39 | 1, 38 | sylbi 216 |
. . . . 5
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝑁 ∈ ℤ
→ (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))) |
40 | 39 | pm2.43i 52 |
. . . 4
⊢ (𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊))
→ (𝑁 ∈ ℤ
→ (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))) |
41 | 40 | impcom 408 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈
(0..^(♯‘𝑊)))
→ (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)) |
42 | 41 | 3adant1 1129 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)) |
43 | 15, 42 | eqtrd 2778 |
1
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)) |