Theorem cshwidxmodr 14755

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxmodr	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nn0z 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
6		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
9	1, 8	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
10	9	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
12		zmodfzo 13842	. . . 4 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		cshwidxmod 14754	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
15	13, 14	syld3an3 1412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
16		elfzoelz 13602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17, 4	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	zred 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ)
20		zre 12517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		nnrp 12943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
23	22	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
24		modaddmod 13860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
26		nn0cn 12436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		npcan 11391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
30	27, 28, 29	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
31	30	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 13849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
34	25, 31, 33	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
35	34	fveq2d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
37	36	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
38	37	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
39	1, 38	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
40	39	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
41	40	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
42	41	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
43	15, 42	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   < clt 11168   − cmin 11366  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ..^cfzo 13597   mod cmo 13817  ♯chash 14281  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-csh 14740

This theorem is referenced by:  cshwrnid  33009