Theorem 0mod 12956

Description: Special case: 0 modulo a positive real number is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0mod	⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	jctl 520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
3		rpgt0 12088	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑁)
4		0le0 11421	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5	3, 4	jctil 516	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁))
6		modid 12950	. 2 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁)) → (0 mod 𝑁) = 0)
7	2, 5, 6	syl2anc 580	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  0cc0 10224   < clt 10363   ≤ cle 10364  ℝ⁺crp 12074   mod cmo 12923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fl 12848  df-mod 12924

This theorem is referenced by:  addmodlteq  13000  cshw0  13879  dvdsmodexp  15327  moddvds  15330  modprm0  15843  nnnn0modprm0  15844  elqaalem2  24416  lgsne0  25412  gausslemma2dlem0i  25441  pellexlem6  38184  m1mod0mod1  42179  dignnld  43196  dig0  43199  digexp  43200