Theorem cshwrnid 33578

Description: Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshwrnid	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)

Proof of Theorem cshwrnid

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ ℤ)
3		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zsubcld 12821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 − 𝑁) ∈ ℤ)
5		elfzo0 13848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
6	5	simp2bi 1164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		zmodfzo 14047	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9	4, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10	9	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11		elfzoelz 13806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℤ)
13		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	12, 13	zaddcld 12820	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ)
15		elfzo0 13848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝑊)))
16	15	simp2bi 1164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		zmodfzo 14047	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
21	20	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑖 − 𝑁) = (((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁))
22	21	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
23	22	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
24	12	zred 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℝ)
25	13	zred 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
26	24, 25	readdcld 11351	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ)
27	17	nnrpd 13175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
28		modsubmod 14085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
29	26, 25, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
30	12	zcnd 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℂ)
31	13	zcnd 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	30, 31	pncand 11683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑗)
33	32	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑗 mod (♯‘𝑊)))
34		zmodidfzoimp 14054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
35	34	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
36	29, 33, 35	3eqtrrd 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
37	19, 23, 36	rspcedvd 3582	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
38		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
39	38	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
40		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43		cshwidxmodr 14969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝑖))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘𝑖))
45	39, 44	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘𝑖))
46	45	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖 − 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ 𝑐 = (𝑊‘𝑖)))
47	10, 37, 46	rexxfrd2 5379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊‘𝑖)))
48	47	abbidv 2829	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)} = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊‘𝑖)})
49		cshwfn 14966	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
50		fnrnfv 6955	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
51	49, 50	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
52		wrdfn 14686	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
53	52	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
54		fnrnfv 6955	. . 3 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊‘𝑖)})
55	53, 54	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊‘𝑖)})
56	48, 51, 55	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ran crn 5656   Fn wfn 6542  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213   + caddc 11216   < clt 11356   − cmin 11554  ℕcn 12348  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ℝ⁺crp 13133  ..^cfzo 13801   mod cmo 14022  ♯chash 14487  Word cword 14671   cyclShift ccsh 14953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-csh 14954

This theorem is used by:  cshf1o  33579  cycpmcl  33733