Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshwrnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwrnid 32711
Description: Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshwrnid ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)

Proof of Theorem cshwrnid
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13674 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
213ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zsubcld 12711 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
5 elfzo0 13715 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
65simp2bi 1143 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
763ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8 zmodfzo 13901 . . . . . 6 (((𝑖𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
94, 7, 8syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1093expa 1115 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11 elfzoelz 13674 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1211adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 12710 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ)
15 elfzo0 13715 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝑊)))
1615simp2bi 1143 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1716adantl 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 zmodfzo 13901 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2120oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) = (((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁))
2221oveq1d 7441 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2322eqeq2d 2739 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
2412zred 12706 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℝ)
2513zred 12706 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25readdcld 11283 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ)
2717nnrpd 13056 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
28 modsubmod 13936 . . . . . . 7 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2926, 25, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3012zcnd 12707 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3113zcnd 12707 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
3230, 31pncand 11612 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑗)
3332oveq1d 7441 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑗 mod (♯‘𝑊)))
34 zmodidfzoimp 13908 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3534adantl 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3629, 33, 353eqtrrd 2773 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3719, 23, 36rspcedvd 3613 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
38 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3938fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))))
40 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43 cshwidxmodr 14796 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4539, 44eqtrd 2768 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊𝑖))
4645eqeq2d 2739 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ 𝑐 = (𝑊𝑖)))
4710, 37, 46rexxfrd2 5417 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)))
4847abbidv 2797 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)} = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
49 cshwfn 14793 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
50 fnrnfv 6963 . . 3 ((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
5149, 50syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
52 wrdfn 14520 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5352adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
54 fnrnfv 6963 . . 3 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5553, 54syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5648, 51, 553eqtr4d 2778 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  wrex 3067   class class class wbr 5152  ran crn 5683   Fn wfn 6548  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151   < clt 11288  cmin 11484  cn 12252  0cn0 12512  cz 12598  +crp 13016  ..^cfzo 13669   mod cmo 13876  chash 14331  Word cword 14506   cyclShift ccsh 14780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-csh 14781
This theorem is referenced by:  cshf1o  32712  cycpmcl  32866
  Copyright terms: Public domain W3C validator