Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshwrnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwrnid 32630
Description: Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshwrnid ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)

Proof of Theorem cshwrnid
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13638 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
213ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zsubcld 12675 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
5 elfzo0 13679 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
65simp2bi 1143 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
763ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8 zmodfzo 13865 . . . . . 6 (((𝑖𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1093expa 1115 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11 elfzoelz 13638 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1211adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 12674 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ)
15 elfzo0 13679 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝑊)))
1615simp2bi 1143 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 zmodfzo 13865 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2120oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) = (((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁))
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2322eqeq2d 2737 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
2412zred 12670 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℝ)
2513zred 12670 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25readdcld 11247 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ)
2717nnrpd 13020 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
28 modsubmod 13900 . . . . . . 7 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2926, 25, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3012zcnd 12671 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3113zcnd 12671 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
3230, 31pncand 11576 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑗)
3332oveq1d 7420 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑗 mod (♯‘𝑊)))
34 zmodidfzoimp 13872 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3534adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3629, 33, 353eqtrrd 2771 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3719, 23, 36rspcedvd 3608 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
38 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3938fveq2d 6889 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))))
40 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43 cshwidxmodr 14760 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4539, 44eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊𝑖))
4645eqeq2d 2737 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ 𝑐 = (𝑊𝑖)))
4710, 37, 46rexxfrd2 5404 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)))
4847abbidv 2795 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)} = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
49 cshwfn 14757 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
50 fnrnfv 6945 . . 3 ((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
5149, 50syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
52 wrdfn 14484 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5352adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
54 fnrnfv 6945 . . 3 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5553, 54syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5648, 51, 553eqtr4d 2776 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wrex 3064   class class class wbr 5141  ran crn 5670   Fn wfn 6532  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252  cmin 11448  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  +crp 12980  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  chash 14295  Word cword 14470   cyclShift ccsh 14744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745
This theorem is referenced by:  cshf1o  32631  cycpmcl  32781
  Copyright terms: Public domain W3C validator