Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshwrnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwrnid 32930
Description: Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshwrnid ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)

Proof of Theorem cshwrnid
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13718 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
213ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zsubcld 12754 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
5 elfzo0 13759 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
65simp2bi 1146 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
763ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8 zmodfzo 13947 . . . . . 6 (((𝑖𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1093expa 1118 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11 elfzoelz 13718 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1211adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 12753 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ)
15 elfzo0 13759 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (♯‘𝑊)))
1615simp2bi 1146 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 zmodfzo 13947 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2120oveq1d 7465 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑖𝑁) = (((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁))
2221oveq1d 7465 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2322eqeq2d 2751 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
2412zred 12749 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℝ)
2513zred 12749 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25readdcld 11321 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ)
2717nnrpd 13099 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
28 modsubmod 13982 . . . . . . 7 (((𝑗 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2926, 25, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3012zcnd 12750 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3113zcnd 12750 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
3230, 31pncand 11650 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑗)
3332oveq1d 7465 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑗 + 𝑁) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑗 mod (♯‘𝑊)))
34 zmodidfzoimp 13954 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3534adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 mod (♯‘𝑊)) = 𝑗)
3629, 33, 353eqtrrd 2785 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) − 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3719, 23, 36rspcedvd 3637 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
38 simp3 1138 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3938fveq2d 6926 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))))
40 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simp2 1137 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43 cshwidxmodr 14854 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝑖))
4539, 44eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊𝑖))
4645eqeq2d 2751 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 = ((𝑖𝑁) mod (♯‘𝑊))) → (𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ 𝑐 = (𝑊𝑖)))
4710, 37, 46rexxfrd2 5431 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)))
4847abbidv 2811 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)} = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
49 cshwfn 14851 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
50 fnrnfv 6983 . . 3 ((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
5149, 50syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = {𝑐 ∣ ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗)})
52 wrdfn 14578 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5352adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
54 fnrnfv 6983 . . 3 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5553, 54syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran 𝑊 = {𝑐 ∣ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))𝑐 = (𝑊𝑖)})
5648, 51, 553eqtr4d 2790 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  {cab 2717  wrex 3076   class class class wbr 5166  ran crn 5701   Fn wfn 6570  cfv 6575  (class class class)co 7450  cr 11185  0cc0 11186   + caddc 11189   < clt 11326  cmin 11522  cn 12295  0cn0 12555  cz 12641  +crp 13059  ..^cfzo 13713   mod cmo 13922  chash 14381  Word cword 14564   cyclShift ccsh 14838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-substr 14691  df-pfx 14721  df-csh 14839
This theorem is referenced by:  cshf1o  32931  cycpmcl  33111
  Copyright terms: Public domain W3C validator