Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goldbachthlem1 42492
Description: Lemma 1 for goldbachth 42494. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachthlem1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))

Proof of Theorem goldbachthlem1
StepHypRef Expression
1 simp2 1128 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2 nn0z 11757 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 11757 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 znnsub 11780 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
52, 3, 4syl2anr 590 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
65biimp3a 1542 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
7 fmtnodvds 42491 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
81, 6, 7syl2anc 579 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
9 nn0cn 11658 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
10 nn0cn 11658 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
119, 10anim12ci 607 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12113adant3 1123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
13 pncan3 10632 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1514eqcomd 2784 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
1615fveq2d 6452 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
1716oveq1d 6939 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) = ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
188, 17breqtrrd 4916 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272   + caddc 10277   < clt 10413  cmin 10608  cn 11379  2c2 11435  0cn0 11647  cz 11733  cdvds 15396  FermatNocfmtno 42474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-prod 15048  df-dvds 15397  df-fmtno 42475
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  42493
  Copyright terms: Public domain W3C validator