Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goldbachthlem1 44146
 Description: Lemma 1 for goldbachth 44148. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachthlem1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))

Proof of Theorem goldbachthlem1
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2 nn0z 12010 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 12010 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 znnsub 12033 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
52, 3, 4syl2anr 599 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
65biimp3a 1466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
7 fmtnodvds 44145 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
81, 6, 7syl2anc 587 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
9 nn0cn 11910 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
10 nn0cn 11910 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
119, 10anim12ci 616 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12113adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
13 pncan3 10898 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1514eqcomd 2804 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
1615fveq2d 6656 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
1716oveq1d 7157 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) = ((FermatNo‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) − 2))
188, 17breqtrrd 5061 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5033  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℂcc 10539   + caddc 10544   < clt 10679   − cmin 10874  ℕcn 11640  2c2 11695  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11986   ∥ cdvds 15616  FermatNocfmtno 44128 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-inf2 9103  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-rp 12395  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-seq 13382  df-exp 13443  df-hash 13704  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-clim 14854  df-prod 15269  df-dvds 15617  df-fmtno 44129 This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  44147
 Copyright terms: Public domain W3C validator