Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem goldbachthlem1 46698
Description: Lemma 1 for goldbachth 46700. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachthlem1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2))
Proof of Theorem goldbachthlem1
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2 nn0z 12580 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 nn0z 12580 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 znnsub 12605 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•))
52, 3, 4syl2anr 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•))
65biimp3a 1465 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•)
7 fmtnodvds 46697 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
81, 6, 7syl2anc 583 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
9 nn0cn 12479 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
10 nn0cn 12479 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
119, 10anim12ci 613 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
12113adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
13 pncan3 11465 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
1514eqcomd 2730 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
1615fveq2d 6885 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = (FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
1716oveq1d 7416 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2) = ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
188, 17breqtrrd 5166 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104   + caddc 11109   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555   βˆ₯ cdvds 16194  FermatNocfmtno 46680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847  df-dvds 16195  df-fmtno 46681
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  46699
  Copyright terms: Public domain W3C validator