Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem goldbachthlem1 45890
Description: Lemma 1 for goldbachth 45892. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachthlem1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2))
Proof of Theorem goldbachthlem1
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2 nn0z 12548 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 nn0z 12548 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 znnsub 12573 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•))
52, 3, 4syl2anr 597 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•))
65biimp3a 1469 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•)
7 fmtnodvds 45889 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
81, 6, 7syl2anc 584 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
9 nn0cn 12447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
10 nn0cn 12447 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
119, 10anim12ci 614 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
12113adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
13 pncan3 11433 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
1514eqcomd 2737 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
1615fveq2d 6866 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = (FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
1716oveq1d 7392 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2) = ((FermatNoβ€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) βˆ’ 2))
188, 17breqtrrd 5153 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (FermatNoβ€˜π‘€) βˆ₯ ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073   + caddc 11078   < clt 11213   βˆ’ cmin 11409  β„•cn 12177  2c2 12232  β„•0cn0 12437  β„€cz 12523   βˆ₯ cdvds 16162  FermatNocfmtno 45872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-prod 15815  df-dvds 16163  df-fmtno 45873
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  45891
  Copyright terms: Public domain W3C validator