knoppndvlem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem2 35879

Description: Lemma for knoppndv 35900. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

**Proof of Theorem knoppndvlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		knoppndvlem2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nnz 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		2ne0 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
9		0red 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	zred 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		0lt1 11733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
14		nnge1 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
16	9, 10, 11, 13, 15	ltletrd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17	9, 16	ltned 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
18	17	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
19	1, 5, 8, 18	mulne0d 11863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20		knoppndvlem2.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	6, 19, 20	expclzd 14113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22		knoppndvlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	6, 19, 23	expclzd 14113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
25	24, 1, 8	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26		knoppndvlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	21, 25, 27	mulassd 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
29	28	eqcomd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
30	21, 24, 1, 8	divassd 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
31	30	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
32	6, 19	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
33	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
34	32, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35		expaddz 14069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
37	36	eqcomd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
38	20	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
39	22	zcnd 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
40	38, 39	negsubd 11574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼 − 𝐽))
41	40	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)))
42		knoppndvlem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)
43	22, 20	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44		znnsub 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
46	42, 45	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)
47	6, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
48		expm1t 14053	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
50	37, 41, 49	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
52	20, 22	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53		zsubcl 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
55		peano2zm 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
57	22	zred 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
58	20	zred 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
59	57, 58	posdifd 11798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼 − 𝐽)))
60	42, 59	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼 − 𝐽))
61		0zd 12567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
62	61, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ))
63		zltlem1 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))
66	56, 65	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
67		elnn0z 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
68	66, 67	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀)
69	6, 68	expcld 14108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
70	69, 6, 1, 8	divassd 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
71	5, 1, 8	divcan3d 11992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
73	70, 72	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
74	31, 51, 73	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
75	74	oveq1d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
76	29, 75	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77		2z 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
79	78, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80		zmulcl 12608	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
82	81, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀))
83		zexpcl 14039	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
85	84, 4	zmulcld 12669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
86	85, 26	zmulcld 12669	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
87	76, 86	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 class class class wbr 5138 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 -cneg 11442 / cdiv 11868 ℕcn 12209 2c2 12264 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-seq 13964 df-exp 14025

This theorem is referenced by: knoppndvlem6 35883

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