knoppndvlem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem2 34620

Description: Lemma for knoppndv 34641. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

**Proof of Theorem knoppndvlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		knoppndvlem2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nnz 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		2ne0 12007	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
9		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	zred 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		0lt1 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
14		nnge1 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
16	9, 10, 11, 13, 15	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17	9, 16	ltned 11041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
18	17	necomd 2998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
19	1, 5, 8, 18	mulne0d 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20		knoppndvlem2.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	6, 19, 20	expclzd 13797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22		knoppndvlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	6, 19, 23	expclzd 13797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
25	24, 1, 8	divcld 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26		knoppndvlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	21, 25, 27	mulassd 10929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
29	28	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
30	21, 24, 1, 8	divassd 11716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
31	30	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
32	6, 19	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
33	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
34	32, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35		expaddz 13755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
37	36	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
38	20	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
39	22	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
40	38, 39	negsubd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼 − 𝐽))
41	40	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)))
42		knoppndvlem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)
43	22, 20	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44		znnsub 12296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
46	42, 45	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)
47	6, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
48		expm1t 13739	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
50	37, 41, 49	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
52	20, 22	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53		zsubcl 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
55		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
57	22	zred 12355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
58	20	zred 12355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
59	57, 58	posdifd 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼 − 𝐽)))
60	42, 59	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼 − 𝐽))
61		0zd 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
62	61, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ))
63		zltlem1 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))
66	56, 65	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
67		elnn0z 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
68	66, 67	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀)
69	6, 68	expcld 13792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
70	69, 6, 1, 8	divassd 11716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
71	5, 1, 8	divcan3d 11686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
73	70, 72	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
74	31, 51, 73	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
75	74	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
76	29, 75	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77		2z 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
79	78, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80		zmulcl 12299	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
82	81, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀))
83		zexpcl 13725	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
85	84, 4	zmulcld 12361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
86	85, 26	zmulcld 12361	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
87	76, 86	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 class class class wbr 5070 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 -cneg 11136 / cdiv 11562 ℕcn 11903 2c2 11958 ℕ₀cn0 12163 ℤcz 12249 ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-seq 13650 df-exp 13711

This theorem is referenced by: knoppndvlem6 34624

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