knoppndvlem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem2 36789

Description: Lemma for knoppndv 36810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

**Proof of Theorem knoppndvlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		knoppndvlem2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nnz 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		2ne0 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
9		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	zred 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		0lt1 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
14		nnge1 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
16	9, 10, 11, 13, 15	ltletrd 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17	9, 16	ltned 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
18	17	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
19	1, 5, 8, 18	mulne0d 11793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20		knoppndvlem2.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	6, 19, 20	expclzd 14104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22		knoppndvlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	6, 19, 23	expclzd 14104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
25	24, 1, 8	divcld 11922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26		knoppndvlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	21, 25, 27	mulassd 11159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
29	28	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
30	21, 24, 1, 8	divassd 11957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
31	30	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
32	6, 19	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
33	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
34	32, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35		expaddz 14059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
37	36	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
38	20	zcnd 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
39	22	zcnd 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
40	38, 39	negsubd 11502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼 − 𝐽))
41	40	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)))
42		knoppndvlem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)
43	22, 20	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44		znnsub 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)
47	6, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
48		expm1t 14043	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
50	37, 41, 49	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
52	20, 22	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53		zsubcl 12560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
55		peano2zm 12561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
57	22	zred 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
58	20	zred 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
59	57, 58	posdifd 11728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼 − 𝐽)))
60	42, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼 − 𝐽))
61		0zd 12527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
62	61, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ))
63		zltlem1 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
65	60, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))
66	56, 65	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
67		elnn0z 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀)
69	6, 68	expcld 14099	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
70	69, 6, 1, 8	divassd 11957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
71	5, 1, 8	divcan3d 11927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
73	70, 72	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
74	31, 51, 73	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
75	74	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
76	29, 75	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77		2z 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
79	78, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80		zmulcl 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
82	81, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀))
83		zexpcl 14029	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
85	84, 4	zmulcld 12630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
86	85, 26	zmulcld 12630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
87	76, 86	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5086 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 -cneg 11369 / cdiv 11798 ℕcn 12165 2c2 12227 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-seq 13955 df-exp 14015

This theorem is referenced by: knoppndvlem6 36793

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