Proof of Theorem knoppndvlem2
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 2 | | knoppndvlem2.n |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 3 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 5 | 4 | zcnd 12723 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 6 | 1, 5 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
| 7 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
| 9 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 10 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 11 | 4 | zred 12722 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 12 | | 0lt1 11785 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 <
1 |
| 13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < 1) |
| 14 | | nnge1 12294 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑁) |
| 15 | 2, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁) |
| 16 | 9, 10, 11, 13, 15 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁) |
| 17 | 9, 16 | ltned 11397 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁) |
| 18 | 17 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0) |
| 19 | 1, 5, 8, 18 | mulne0d 11915 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0) |
| 20 | | knoppndvlem2.i |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ) |
| 21 | 6, 19, 20 | expclzd 14191 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ) |
| 22 | | knoppndvlem2.j |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ) |
| 23 | 22 | znegcld 12724 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ) |
| 24 | 6, 19, 23 | expclzd 14191 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ) |
| 25 | 24, 1, 8 | divcld 12043 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ) |
| 26 | | knoppndvlem2.m |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 27 | 26 | zcnd 12723 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 28 | 21, 25, 27 | mulassd 11284 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))) |
| 29 | 28 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀)) |
| 30 | 21, 24, 1, 8 | divassd 12078 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) |
| 31 | 30 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2)) |
| 32 | 6, 19 | jca 511 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2
· 𝑁) ≠
0)) |
| 33 | 20, 23 | jca 511 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) |
| 34 | 32, 33 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2
· 𝑁) ≠ 0) ∧
(𝐼 ∈ ℤ ∧
-𝐽 ∈
ℤ))) |
| 35 | | expaddz 14147 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((2
· 𝑁) ∈ ℂ
∧ (2 · 𝑁) ≠
0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ
∧ -𝐽 ∈ ℤ))
→ ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽))) |
| 36 | 34, 35 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽))) |
| 37 | 36 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽))) |
| 38 | 20 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ) |
| 39 | 22 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ) |
| 40 | 38, 39 | negsubd 11626 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼 − 𝐽)) |
| 41 | 40 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽))) |
| 42 | | knoppndvlem2.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼) |
| 43 | 22, 20 | jca 511 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) |
| 44 | | znnsub 12663 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)) |
| 45 | 43, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)) |
| 46 | 42, 45 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) |
| 47 | 6, 46 | jca 511 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)) |
| 48 | | expm1t 14131 |
. . . . . . . 8
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℂ
∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) → ((2
· 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁))) |
| 49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁))) |
| 50 | 37, 41, 49 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁))) |
| 51 | 50 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2)) |
| 52 | 20, 22 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) |
| 53 | | zsubcl 12659 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) |
| 54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) |
| 55 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈
ℤ) |
| 56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈
ℤ) |
| 57 | 22 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ) |
| 58 | 20 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ) |
| 59 | 57, 58 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼 − 𝐽))) |
| 60 | 42, 59 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼 − 𝐽)) |
| 61 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
| 62 | 61, 54 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧
(𝐼 − 𝐽) ∈
ℤ)) |
| 63 | | zltlem1 12670 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ (𝐼
− 𝐽) ∈ ℤ)
→ (0 < (𝐼 −
𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))) |
| 64 | 62, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))) |
| 65 | 60, 64 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)) |
| 66 | 56, 65 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤
((𝐼 − 𝐽) − 1))) |
| 67 | | elnn0z 12626 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ0
↔ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ
∧ 0 ≤ ((𝐼 −
𝐽) −
1))) |
| 68 | 66, 67 | sylibr 234 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈
ℕ0) |
| 69 | 6, 68 | expcld 14186 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈
ℂ) |
| 70 | 69, 6, 1, 8 | divassd 12078 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2))) |
| 71 | 5, 1, 8 | divcan3d 12048 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁) |
| 72 | 71 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁)) |
| 73 | 70, 72 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁)) |
| 74 | 31, 51, 73 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁)) |
| 75 | 74 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀)) |
| 76 | 29, 75 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀)) |
| 77 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 79 | 78, 4 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈
ℤ)) |
| 80 | | zmulcl 12666 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑁
∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ) |
| 81 | 79, 80 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℤ) |
| 82 | 81, 68 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈
ℕ0)) |
| 83 | | zexpcl 14117 |
. . . . 5
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℤ
∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈
ℕ0) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈
ℤ) |
| 84 | 82, 83 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈
ℤ) |
| 85 | 84, 4 | zmulcld 12728 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ) |
| 86 | 85, 26 | zmulcld 12728 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ) |
| 87 | 76, 86 | eqeltrd 2841 |
1
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ) |