knoppndvlem2 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem2 36496

Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

**Proof of Theorem knoppndvlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		knoppndvlem2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nnz 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		2ne0 12368	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
9		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	zred 12720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		0lt1 11783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
14		nnge1 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
16	9, 10, 11, 13, 15	ltletrd 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17	9, 16	ltned 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
18	17	necomd 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
19	1, 5, 8, 18	mulne0d 11913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20		knoppndvlem2.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
21	6, 19, 20	expclzd 14188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22		knoppndvlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	6, 19, 23	expclzd 14188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
25	24, 1, 8	divcld 12041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26		knoppndvlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	21, 25, 27	mulassd 11282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
29	28	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
30	21, 24, 1, 8	divassd 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
31	30	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
32	6, 19	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
33	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
34	32, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35		expaddz 14144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
37	36	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
38	20	zcnd 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
39	22	zcnd 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
40	38, 39	negsubd 11624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼 − 𝐽))
41	40	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)))
42		knoppndvlem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐼)
43	22, 20	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44		znnsub 12661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ)
47	6, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ))
48		expm1t 14128	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 − 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
50	37, 41, 49	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
52	20, 22	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53		zsubcl 12657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
55		peano2zm 12658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ)
57	22	zred 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
58	20	zred 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
59	57, 58	posdifd 11848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼 − 𝐽)))
60	42, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼 − 𝐽))
61		0zd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
62	61, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ))
63		zltlem1 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
65	60, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1))
66	56, 65	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
67		elnn0z 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼 − 𝐽) − 1)))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀)
69	6, 68	expcld 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
70	69, 6, 1, 8	divassd 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
71	5, 1, 8	divcan3d 12046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
73	70, 72	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
74	31, 51, 73	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁))
75	74	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
76	29, 75	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77		2z 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
79	78, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80		zmulcl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
82	81, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀))
83		zexpcl 14114	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝐽) − 1) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
85	84, 4	zmulcld 12726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
86	85, 26	zmulcld 12726	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼 − 𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
87	76, 86	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 class class class wbr 5148 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-seq 14040 df-exp 14100

This theorem is referenced by: knoppndvlem6 36500

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