Theorem aaliou 26501

Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial 𝐹 in integer coefficients, is not approximable beyond order 𝑁 = deg(𝐹) by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. This is Metamath 100 proof #18. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aaliou	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aaliou

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem6 26500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7		rphalfcl 13040	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
9	7	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
10		nnrp 13023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ+)
11	10	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
12	3	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 14279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
15	9, 14	rpdivcld 13072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
17		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
18	17, 14	rpdivcld 13072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		znq 12971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
22		qre 12972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
24		resubcl 11517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
25	20, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
28	16, 19, 27	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
29	9	rpred 13055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ)
30		rpre 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
32		rphalflt 13042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑎 / 2) < 𝑎)
33	32	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) < 𝑎)
34	29, 31, 14, 33	ltdiv1dd 13112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (𝑎 / (𝑞↑𝑁)))
35	34	anim1i 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
36	35	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
37		ltletr 11297	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → ((((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38	28, 36, 37	sylsyld 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
39	38	orim2d 982	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
40	39	ralimdvva 3212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
41		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)))
42	41	breq1d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
43	42	orbi2d 928	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
44	43	2ralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎 / 2) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
45	44	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((𝑎 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46	8, 40, 45	syl6an 696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
47	46	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
48	6, 47	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ℚcq 12967  ℝ⁺crp 13011  ↑cexp 14093  abscabs 15281  Polycply 26341  degcdgr 26344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-0p 25829  df-limc 26025  df-dv 26026  df-dvn 26027  df-cpn 26028  df-ply 26345  df-idp 26346  df-coe 26347  df-dgr 26348  df-quot 26452

This theorem is referenced by:  aaliou2  26503