MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aaliou 25842
Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial 𝐹 in integer coefficients, is not approximable beyond order 𝑁 = deg(𝐹) by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. This is Metamath 100 proof #18. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aaliou (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem aaliou
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 aalioulem2.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
3 aalioulem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 aalioulem2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem6 25841 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
7 rphalfcl 12997 . . . . 5 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ž / 2) ∈ ℝ+)
87adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ž / 2) ∈ ℝ+)
97ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / 2) ∈ ℝ+)
10 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
1110ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
123nnzd 12581 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1411, 13rpexpcld 14206 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
159, 14rpdivcld 13029 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
1615rpred 13012 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
17 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
1817, 14rpdivcld 13029 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
1918rpred 13012 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
204adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21 znq 12932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
22 qre 12933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
24 resubcl 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
2520, 23, 24syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
2625recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
2726abscld 15379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
2816, 19, 273jca 1128 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
299rpred 13012 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / 2) ∈ ℝ)
30 rpre 12978 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
32 rphalflt 12999 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ž / 2) < π‘Ž)
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / 2) < π‘Ž)
3429, 31, 14, 33ltdiv1dd 13069 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)))
3534anim1i 615 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
3635ex 413 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
37 ltletr 11302 . . . . . . 7 ((((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
3828, 36, 37sylsyld 61 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
3938orim2d 965 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
4039ralimdvva 3204 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
41 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Ž / 2) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) = ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)))
4241breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Ž / 2) β†’ ((π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ↔ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
4342orbi2d 914 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘Ž / 2) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
44432ralbidv 3218 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘Ž / 2) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
4544rspcev 3612 . . . 4 (((π‘Ž / 2) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ ((π‘Ž / 2) / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
468, 40, 45syl6an 682 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
4746rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
486, 47mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„€cz 12554  β„šcq 12928  β„+crp 12970  β†‘cexp 14023  abscabs 15177  Polycply 25689  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376  df-cpn 25377  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795
This theorem is referenced by:  aaliou2  25844
  Copyright terms: Public domain W3C validator