MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divnumden Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden 16680
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divnumden ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 12575 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
32adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
4 nnne0 12242 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
54neneqd 2945 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
76intnand 489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
8 gcdn0cl 16439 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
91, 3, 7, 8syl21anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
10 gcddvds 16440 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
112, 10sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
12 gcddiv 16489 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
131, 3, 9, 11, 12syl31anc 1373 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
149nncnd 12224 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
159nnne0d 12258 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
1614, 15dividd 11984 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = 1)
1713, 16eqtr3d 2774 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1)
18 zcn 12559 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 nncn 12216 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
224adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
23 divcan7 11919 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = (𝐴 / 𝐡))
2423eqcomd 2738 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
2519, 21, 22, 14, 15, 24syl122anc 1379 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
26 znq 12932 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
2711simpld 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴)
28 gcdcl 16443 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
302, 29sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
31 dvdsval2 16196 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3230, 15, 1, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3327, 32mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€)
3411simprd 496 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)
35 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
36 nndivdvds 16202 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3735, 9, 36syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3834, 37mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•)
39 qnumdenbi 16676 . . 3 (((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4026, 33, 38, 39syl3anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4117, 25, 40mpbi2and 710 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„šcq 12928   βˆ₯ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  numercnumer 16665  denomcdenom 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668
This theorem is referenced by:  divdenle  16681  divnumden2  32011  qqhval2lem  32949
  Copyright terms: Public domain W3C validator