MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divnumden Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden 16693
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divnumden ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 12583 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
4 nnne0 12250 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
54neneqd 2939 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
76intnand 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
8 gcdn0cl 16450 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
91, 3, 7, 8syl21anc 835 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
10 gcddvds 16451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
112, 10sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
12 gcddiv 16500 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
131, 3, 9, 11, 12syl31anc 1370 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
149nncnd 12232 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
159nnne0d 12266 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
1614, 15dividd 11992 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = 1)
1713, 16eqtr3d 2768 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1)
18 zcn 12567 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 nncn 12224 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
224adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
23 divcan7 11927 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = (𝐴 / 𝐡))
2423eqcomd 2732 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
2519, 21, 22, 14, 15, 24syl122anc 1376 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
26 znq 12940 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
2711simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴)
28 gcdcl 16454 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
302, 29sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
31 dvdsval2 16207 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3230, 15, 1, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3327, 32mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€)
3411simprd 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)
35 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
36 nndivdvds 16213 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3735, 9, 36syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3834, 37mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•)
39 qnumdenbi 16689 . . 3 (((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4026, 33, 38, 39syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4117, 25, 40mpbi2and 709 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936   βˆ₯ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  numercnumer 16678  denomcdenom 16679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681
This theorem is referenced by:  divdenle  16694  divnumden2  32529  qqhval2lem  33491
  Copyright terms: Public domain W3C validator