MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divnumden Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden 16719
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divnumden ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 12609 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
32adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
4 nnne0 12276 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
54neneqd 2935 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
65adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
76intnand 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
8 gcdn0cl 16476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
91, 3, 7, 8syl21anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
10 gcddvds 16477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
112, 10sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
12 gcddiv 16526 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
131, 3, 9, 11, 12syl31anc 1370 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
149nncnd 12258 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
159nnne0d 12292 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
1614, 15dividd 12018 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = 1)
1713, 16eqtr3d 2767 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1)
18 zcn 12593 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 nncn 12250 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
224adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
23 divcan7 11953 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = (𝐴 / 𝐡))
2423eqcomd 2731 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
2519, 21, 22, 14, 15, 24syl122anc 1376 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
26 znq 12966 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
2711simpld 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴)
28 gcdcl 16480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
302, 29sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
31 dvdsval2 16233 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3230, 15, 1, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3327, 32mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€)
3411simprd 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)
35 simpr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
36 nndivdvds 16239 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3735, 9, 36syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3834, 37mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•)
39 qnumdenbi 16715 . . 3 (((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4026, 33, 38, 39syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4117, 25, 40mpbi2and 710 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„€cz 12588  β„šcq 12962   βˆ₯ cdvds 16230   gcd cgcd 16468  numercnumer 16704  denomcdenom 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-numer 16706  df-denom 16707
This theorem is referenced by:  divdenle  16720  divnumden2  32626  qqhval2lem  33639
  Copyright terms: Public domain W3C validator