MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem4 25711
Description: Lemma for aaliou 25714. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 aalioulem2.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
3 aalioulem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 aalioulem2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 25710 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))))
7 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
9 znq 12884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
107, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
11 qre 12885 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
13 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)
14 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ž) = (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))
1514fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
1615breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1))
17 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))
1817oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
1918, 15breq12d 5123 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
2016, 19imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2120rspcv 3580 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2221com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2312, 13, 22sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
24 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
258nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
26 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ πœ‘)
2726, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2827nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2925, 28rpexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
3024, 29rpdivcld 12981 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
3130rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3324rpred 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3426, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
35 plyf 25575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3712recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„‚)
3836, 37ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
3938abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4033, 39remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ ℝ)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ ℝ)
4226, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 12resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
4443recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
4544abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4724rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4829rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ β„‚)
4929rpne0d 12969 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) β‰  0)
5047, 48, 49divrecd 11941 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) = (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))))
5148, 38absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5229rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ)
5329rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 0 ≀ (π‘žβ†‘π‘))
5452, 53absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) = (π‘žβ†‘π‘))
5554oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5651, 55eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5748, 38mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘π‘)))
581oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘žβ†‘π‘) = (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))
5958oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘π‘)) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ)))
6057, 59eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))))
6134, 7, 8aalioulem1 25708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6260, 61eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ β„€)
63 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0)
6448, 38, 49, 63mulne0d 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) β‰  0)
65 nnabscl 15217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ β„€ ∧ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) β‰  0) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6662, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6756, 66eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6867nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
69 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
7069, 39, 29ledivmuld 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ↔ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))))
7168, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))
7229rprecred 12975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
7372, 39, 24lemul2d 13008 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ↔ (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))))
7471, 73mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
7550, 74eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
77 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
7832, 41, 46, 76, 77letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
7978olcd 873 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
8079ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
8123, 80syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
82813exp 1120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8382com34 91 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8483com23 86 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8584ralrimdvv 3199 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
8685reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
876, 86mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„šcq 12880  β„+crp 12922  β†‘cexp 13974  abscabs 15126  Polycply 25561  degcdgr 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-cpn 25249  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568
This theorem is referenced by:  aalioulem5  25712
  Copyright terms: Public domain W3C validator