Theorem aalioulem4 25777

Description: Lemma for aaliou 25780. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem3 25776	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))))
7		simp2l 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
8		simp2r 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
9		znq 12918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
11		qre 12919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
13		simp3r 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)
14		oveq2 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
15	14	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑎)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
16	15	breq1d 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1))
17		2fveq3 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐹‘𝑎)) = (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
18	17	oveq2d 7409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) = (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
19	18, 15	breq12d 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎)) ↔ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) ↔ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
21	20	rspcv 3605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
23	12, 13, 22	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
24		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	8	nnrpd 12996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
26		simp1l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝜑)
27	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	25, 28	rpexpcld 14192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpdivcld 13015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
31	30	rpred 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	24	rpred 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	26, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
35		plyf 25641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	12	recnd 11224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
38	36, 37	ffvelcdmd 7072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
40	33, 39	remulcld 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
42	26, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 12	resubcld 11624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
45	44	abscld 15365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
47	24	rpcnd 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	29	rpcnd 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
49	29	rpne0d 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
50	47, 48, 49	divrecd 11975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))))
51	48, 38	absmuld 15383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
52	29	rpred 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ)
53	29	rpge0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 0 ≤ (𝑞↑𝑁))
54	52, 53	absidd 15351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝑞↑𝑁)) = (𝑞↑𝑁))
55	54	oveq1d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
56	51, 55	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
57	48, 38	mulcomd 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)))
58	1	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞↑𝑁) = (𝑞↑(deg‘𝐹))
59	58	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹)))
60	57, 59	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))))
61	34, 7, 8	aalioulem1 25774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
62	60, 61	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ)
63		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
64	48, 38, 49, 63	mulne0d 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0)
65		nnabscl 15254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ ∧ ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
66	62, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
67	56, 66	eqeltrrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
68	67	nnge1d 12242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
69		1red 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
70	69, 39, 29	ledivmuld 13051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
71	68, 70	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
72	29	rprecred 13009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72, 39, 24	lemul2d 13042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
74	71, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
75	50, 74	eqbrtrd 5163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
77		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
78	32, 41, 46, 76, 77	letrd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
79	78	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
80	79	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
81	23, 80	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
82	81	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
83	82	com34 91	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
84	83	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
85	84	ralrimdvv 3200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
86	85	reximdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
87	6, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5141  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   · cmul 11097   ≤ cle 11231   − cmin 11426   / cdiv 11853  ℕcn 12194  ℤcz 12540  ℚcq 12914  ℝ⁺crp 12956  ↑cexp 14009  abscabs 15163  Polycply 25627  degcdgr 25630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-cmp 22820  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-0p 25116  df-limc 25312  df-dv 25313  df-dvn 25314  df-cpn 25315  df-ply 25631  df-coe 25633  df-dgr 25634

This theorem is referenced by:  aalioulem5  25778