Theorem aalioulem4 26286

Description: Lemma for aaliou 26289. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem3 26285	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))))
7		simp2l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
8		simp2r 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
9		znq 12964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
11		qre 12965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
13		simp3r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)
14		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
15	14	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑎)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
16	15	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1))
17		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐹‘𝑎)) = (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
18	17	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) = (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
19	18, 15	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎)) ↔ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
20	16, 19	imbi12d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) ↔ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
21	20	rspcv 3598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
23	12, 13, 22	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
24		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	8	nnrpd 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
26		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝜑)
27	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	25, 28	rpexpcld 14239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpdivcld 13063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
31	30	rpred 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	31	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	24	rpred 13046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	26, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
35		plyf 26148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	12	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
38	36, 37	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
40	33, 39	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
41	40	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
42	26, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 12	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
45	44	abscld 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
47	24	rpcnd 13048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	29	rpcnd 13048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
49	29	rpne0d 13051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
50	47, 48, 49	divrecd 12021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))))
51	48, 38	absmuld 15431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
52	29	rpred 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ)
53	29	rpge0d 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 0 ≤ (𝑞↑𝑁))
54	52, 53	absidd 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝑞↑𝑁)) = (𝑞↑𝑁))
55	54	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
56	51, 55	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
57	48, 38	mulcomd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)))
58	1	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞↑𝑁) = (𝑞↑(deg‘𝐹))
59	58	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹)))
60	57, 59	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))))
61	34, 7, 8	aalioulem1 26283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
62	60, 61	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ)
63		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
64	48, 38, 49, 63	mulne0d 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0)
65		nnabscl 15302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ ∧ ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
66	62, 64, 65	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
67	56, 66	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
68	67	nnge1d 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
69		1red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
70	69, 39, 29	ledivmuld 13099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
71	68, 70	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
72	29	rprecred 13057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72, 39, 24	lemul2d 13090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
74	71, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
75	50, 74	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
76	75	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
77		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
78	32, 41, 46, 76, 77	letrd 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
79	78	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
80	79	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
81	23, 80	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
82	81	3exp 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
83	82	com34 91	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
84	83	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
85	84	ralrimdvv 3192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
86	85	reximdva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
87	6, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5143  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   · cmul 11141   ≤ cle 11277   − cmin 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12240  ℤcz 12586  ℚcq 12960  ℝ⁺crp 13004  ↑cexp 14056  abscabs 15211  Polycply 26134  degcdgr 26137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-0p 25615  df-limc 25811  df-dv 25812  df-dvn 25813  df-cpn 25814  df-ply 26138  df-coe 26140  df-dgr 26141

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