MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem4 26225
Description: Lemma for aaliou 26228. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 aalioulem2.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
3 aalioulem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 aalioulem2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 26224 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))))
7 simp2l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
9 znq 12940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
107, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
11 qre 12941 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
13 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)
14 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ž) = (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))
1514fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
1615breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1))
17 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))
1817oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
1918, 15breq12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
2016, 19imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑝 / π‘ž) β†’ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2120rspcv 3602 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2221com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
2312, 13, 22sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
24 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
258nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
26 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ πœ‘)
2726, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2827nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2925, 28rpexpcld 14215 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
3024, 29rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
3130rpred 13022 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3324rpred 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3426, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
35 plyf 26087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3712recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„‚)
3836, 37ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
3938abscld 15389 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4033, 39remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ ℝ)
4226, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 12resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
4443recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
4544abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
4724rpcnd 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4829rpcnd 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ β„‚)
4929rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) β‰  0)
5047, 48, 49divrecd 11997 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) = (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))))
5148, 38absmuld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5229rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ)
5329rpge0d 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 0 ≀ (π‘žβ†‘π‘))
5452, 53absidd 15375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) = (π‘žβ†‘π‘))
5554oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((absβ€˜(π‘žβ†‘π‘)) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5651, 55eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) = ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
5748, 38mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘π‘)))
581oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘žβ†‘π‘) = (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))
5958oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘π‘)) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ)))
6057, 59eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) = ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))))
6134, 7, 8aalioulem1 26222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) Β· (π‘žβ†‘(degβ€˜πΉ))) ∈ β„€)
6260, 61eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ β„€)
63 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0)
6448, 38, 49, 63mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) β‰  0)
65 nnabscl 15278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ∈ β„€ ∧ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) β‰  0) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6662, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜((π‘žβ†‘π‘) Β· (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6756, 66eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ∈ β„•)
6867nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
69 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
7069, 39, 29ledivmuld 13075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ↔ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))))
7168, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))
7229rprecred 13033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
7372, 39, 24lemul2d 13066 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))) ↔ (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž))))))
7471, 73mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ Β· (1 / (π‘žβ†‘π‘))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
7550, 74eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
7832, 41, 46, 76, 77letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
7978olcd 871 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) ∧ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
8079ex 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
8123, 80syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) ∧ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
82813exp 1116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8382com34 91 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8483com23 86 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))))
8584ralrimdvv 3195 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
8685reximdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž)) ≀ 1 β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
876, 86mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  abscabs 15187  Polycply 26073  degcdgr 26076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-dvn 25752  df-cpn 25753  df-ply 26077  df-coe 26079  df-dgr 26080
This theorem is referenced by:  aalioulem5  26226
  Copyright terms: Public domain W3C validator