Theorem aalioulem4 26300

Description: Lemma for aaliou 26303. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem3 26299	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))))
7		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
8		simp2r 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
9		znq 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
11		qre 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
13		simp3r 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)
14		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
15	14	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑎)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
16	15	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1))
17		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐹‘𝑎)) = (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) = (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
19	18, 15	breq12d 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎)) ↔ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) ↔ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
21	20	rspcv 3602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
23	12, 13, 22	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
24		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	8	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
26		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝜑)
27	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	25, 28	rpexpcld 14270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpdivcld 13073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
31	30	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	24	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	26, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
35		plyf 26160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	12	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
38	36, 37	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
40	33, 39	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
42	26, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 12	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
45	44	abscld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
47	24	rpcnd 13058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	29	rpcnd 13058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
49	29	rpne0d 13061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
50	47, 48, 49	divrecd 12025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))))
51	48, 38	absmuld 15478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
52	29	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ)
53	29	rpge0d 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 0 ≤ (𝑞↑𝑁))
54	52, 53	absidd 15446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝑞↑𝑁)) = (𝑞↑𝑁))
55	54	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
56	51, 55	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
57	48, 38	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)))
58	1	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞↑𝑁) = (𝑞↑(deg‘𝐹))
59	58	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹)))
60	57, 59	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))))
61	34, 7, 8	aalioulem1 26297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
62	60, 61	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ)
63		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
64	48, 38, 49, 63	mulne0d 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0)
65		nnabscl 15349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ ∧ ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
66	62, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
67	56, 66	eqeltrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
68	67	nnge1d 12293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
69		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
70	69, 39, 29	ledivmuld 13109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
71	68, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
72	29	rprecred 13067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72, 39, 24	lemul2d 13100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
74	71, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
75	50, 74	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
77		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
78	32, 41, 46, 76, 77	letrd 11397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
79	78	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
80	79	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
81	23, 80	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
82	81	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
83	82	com34 91	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
84	83	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
85	84	ralrimdvv 3189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
86	85	reximdva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
87	6, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℚcq 12969  ℝ⁺crp 13013  ↑cexp 14084  abscabs 15258  Polycply 26146  degcdgr 26149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-0p 25628  df-limc 25824  df-dv 25825  df-dvn 25826  df-cpn 25827  df-ply 26150  df-coe 26152  df-dgr 26153

This theorem is referenced by:  aalioulem5  26301