MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptdvds 16665
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3 nfcsb1v 3867 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
43nfel1 2921 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
5 csbeq1a 3856 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
72, 4, 6cbvralw 3286 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
81, 7sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
9 csbeq1 3845 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑝𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑝 / 𝑛𝐴)
109eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
1110rspcv 3566 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
128, 11mpan9 507 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 12369 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴)
14 0le0 12147 . . . . . 6 0 ≤ 0
15 breq2 5091 . . . . . . 7 (𝑝 / 𝑛𝐴 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
16 breq2 5091 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
1715, 16ifboth 4510 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
1813, 14, 17sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
19 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
20 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)
21 nfv 1916 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑚 ∈ ℙ
22 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚
23 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛
2422, 23, 3nfov 7345 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑚𝑚 / 𝑛𝐴)
25 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑛1
2621, 24, 25nfif 4501 . . . . . . . 8 𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1)
27 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
28 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
2928, 5oveq12d 7333 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝐴) = (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴))
3027, 29ifbieq1d 4495 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3120, 26, 30cbvmpt 5198 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3219, 31eqtri 2765 . . . . . 6 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
338adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
34 pcmpt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
36 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
37 pcmptdvds.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3932, 33, 35, 36, 9, 38pcmpt2 16664 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
4018, 39breqtrrd 5115 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4140ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4219, 1pcmptcl 16662 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
4342simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
44 eluznn 12731 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4534, 37, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4643, 45ffvelcdmd 7001 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
4746nnzd 12498 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
4843, 34ffvelcdmd 7001 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
49 znq 12765 . . . . 5 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
51 pcz 16652 . . . 4 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5250, 51syl 17 . . 3 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5341, 52mpbird 256 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
5448nnzd 12498 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
5548nnne0d 12096 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
56 dvdsval2 16038 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5754, 55, 47, 56syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5853, 57mpbird 256 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  csb 3842  ifcif 4471   class class class wbr 5087  cmpt 5170  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7315  0cc0 10944  1c1 10945   · cmul 10949  cle 11083   / cdiv 11705  cn 12046  0cn0 12306  cz 12392  cuz 12655  cq 12761  seqcseq 13794  cexp 13855  cdvds 16035  cprime 16446   pCnt cpc 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-fz 13313  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-dvds 16036  df-gcd 16274  df-prm 16447  df-pc 16608
This theorem is referenced by:  bposlem6  26509
  Copyright terms: Public domain W3C validator