Theorem pcmptdvds 17073

Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmptdvds	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nfv 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3		nfcsb1v 3870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
4	3	nfel1 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0
5		csbeq1a 3860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
6	5	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
7	2, 4, 6	cbvralw 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
8	1, 7	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
9		csbeq1 3849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
11	10	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
12	8, 11	mpan9 516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
14		0le0 12445	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
15		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
16		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
17	15, 16	ifboth 4521	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
18	13, 14, 17	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
19		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
20		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)
21		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℙ
22		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
23		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛↑
24	22, 23, 3	nfov 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
25		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛1
26	21, 24, 25	nfif 4512	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1)
27		eleq1w 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
28		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
29	28, 5	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝐴) = (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
30	27, 29	ifbieq1d 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
31	20, 26, 30	cbvmpt 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
32	19, 31	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
33	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
34		pcmpt.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
35	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
36		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
37		pcmptdvds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39	32, 33, 35, 36, 9, 38	pcmpt2 17072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
40	18, 39	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
41	40	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
42	19, 1	pcmptcl 17070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
43	42	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
44		eluznn 13046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
45	34, 37, 44	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
46	43, 45	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
47	46	nnzd 12720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
48	43, 34	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
49		znq 13080	. . . . 5 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
50	47, 48, 49	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
51		pcz 17060	. . . 4 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
52	50, 51	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
53	41, 52	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
54	48	nnzd 12720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
55	48	nnne0d 12389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
56		dvdsval2 16426	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
57	54, 55, 47, 56	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
58	53, 57	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ⦋csb 3846  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   ≤ cle 11345   / cdiv 11974  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ℚcq 13076  seqcseq 14145  ↑cexp 14205   ∥ cdvds 16423  ℙcprime 16847   pCnt cpc 17015

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-pc 17016

This theorem is used by:  bposlem6  27617