Theorem pcmptdvds 16906

Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmptdvds	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nfv 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
4	3	nfel1 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0
5		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
6	5	eleq1d 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
7	2, 4, 6	cbvralw 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
8	1, 7	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
9		csbeq1 3850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	eleq1d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
11	10	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
12	8, 11	mpan9 513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12535	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
14		0le0 12309	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
15		breq2 5098	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
16		breq2 5098	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
17	15, 16	ifboth 4514	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
18	13, 14, 17	sylancl 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
19		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
20		nfcv 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)
21		nfv 1928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℙ
22		nfcv 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
23		nfcv 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛↑
24	22, 23, 3	nfov 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
25		nfcv 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛1
26	21, 24, 25	nfif 4505	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1)
27		eleq1w 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
28		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
29	28, 5	oveq12d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝐴) = (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
30	27, 29	ifbieq1d 4499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
31	20, 26, 30	cbvmpt 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
32	19, 31	eqtri 2779	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
33	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
34		pcmpt.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
35	34	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
36		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
37		pcmptdvds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39	32, 33, 35, 36, 9, 38	pcmpt2 16905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
40	18, 39	breqtrrd 5122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
41	40	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
42	19, 1	pcmptcl 16903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
43	42	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
44		eluznn 12909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
45	34, 37, 44	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
46	43, 45	ffvelcdmd 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
47	46	nnzd 12584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
48	43, 34	ffvelcdmd 7055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
49		znq 12943	. . . . 5 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
50	47, 48, 49	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
51		pcz 16893	. . . 4 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
52	50, 51	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
53	41, 52	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
54	48	nnzd 12584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
55	48	nnne0d 12253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
56		dvdsval2 16265	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
57	54, 55, 47, 56	syl3anc 1386	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
58	53, 57	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ⦋csb 3847  ifcif 4474   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064   · cmul 11068   ≤ cle 11207   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12829  ℚcq 12939  seqcseq 14004  ↑cexp 14064   ∥ cdvds 16262  ℙcprime 16681   pCnt cpc 16848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-gcd 16505  df-prm 16682  df-pc 16849

This theorem is referenced by:  bposlem6  27323