Theorem phivalfi 12695

Description: Finiteness of an expression used to define the Euler ϕ function. (Contributed by Jim Kingon, 28-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
phivalfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phivalfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9436	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9428	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10615	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		elfzelz 10184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcld 12450	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9530	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10		1zzd 9436	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
11		zdceq 9485	. . . 4 ⊢ (((𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → DECID (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
13	12	ralrimiva 2581	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)DECID (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
14	3, 13	ssfirab 7061	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {crab 2490  (class class class)co 5969  Fincfn 6852  1c1 7963  ℕcn 9073  ℤcz 9409  ...cfz 10167   gcd cgcd 12435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081  ax-caucvg 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-1o 6527  df-er 6645  df-en 6853  df-fin 6855  df-sup 7114  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-q 9778  df-rp 9813  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-fl 10452  df-mod 10507  df-seqfrec 10632  df-exp 10723  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316  df-rsqrt 11470  df-abs 11471  df-dvds 12260  df-gcd 12436

This theorem is referenced by:  phival  12696  phicl2  12697  phibnd  12700  phiprmpw  12705