Theorem gcdcld 12374

Description: Closure of the gcd operator. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcld	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gcdcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcl 12372	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  ℕ₀cn0 9325  ℤcz 9402   gcd cgcd 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-sup 7107  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-dvds 12184  df-gcd 12360

This theorem is referenced by:  gcdaddm  12390  mulgcd  12422  dvdsmulgcd  12431  mulgcddvds  12501  rpmulgcd2  12502  qredeu  12504  rpmul  12505  divgcdcoprmex  12509  cncongr1  12510  rpexp  12560  phivalfi  12619  phiprmpw  12629  phimullem  12632  eulerthlemfi  12635  hashgcdeq  12647  phisum  12648  pythagtriplem3  12675  pythagtriplem6  12678  pythagtriplem7  12679  pockthlem  12764  znunit  14506  znrrg  14507  2sqlem8  15685