Theorem oppcyon 18268

Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcyon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcyon.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oppcyon.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
oppcyon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
oppcyon	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcyon.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
2		oppcyon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 17713	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 17714	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcyon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 17711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 17711	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	hofpropd 18266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝐶) = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveq2d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
16		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
17		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
18		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
19		fvex 6915	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
20	19	rnex 7924	. . . . 5 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
22		ssidd 4005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
23	1, 2, 18, 7, 21, 22	hofcl 18258	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑂 ×c 𝐶) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
24	16, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23	curfpropd 18232	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀))
25		oppcyon.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
26		eqid 2728	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝑂)) = (HomF‘(oppCat‘𝑂))
27	25, 9, 10, 26	yonval 18260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
28	15, 24, 27	3eqtr4rd 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ⟨cop 4638  ran crn 5683  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Catccat 17651  Hom_f chomf 17653  comp_fccomf 17654  oppCatcoppc 17698  SetCatcsetc 18071   curry_F ccurf 18209  Hom_Fchof 18247  Yoncyon 18248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-hom 17264  df-cco 17265  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-comf 17658  df-oppc 17699  df-func 17851  df-setc 18072  df-xpc 18170  df-curf 18213  df-hof 18249  df-yon 18250

This theorem is referenced by: (None)