MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcyon 18234
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
oppcyon.y π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
oppcyon.m 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
oppcyon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
oppcyon (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
2 oppcyon.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
322oppchomf 17679 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
522oppccomf 17680 . . . . . 6 (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
7 oppcyon.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
82oppccat 17677 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝑂 ∈ Cat)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Cat)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (oppCatβ€˜π‘‚) = (oppCatβ€˜π‘‚)
1110oppccat 17677 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
129, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
134, 6, 7, 12hofpropd 18232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (HomFβ€˜πΆ) = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
141, 13eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
1514oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF 𝑀) = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))))
16 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜π‘‚) = (Homf β€˜π‘‚))
17 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜π‘‚) = (compfβ€˜π‘‚))
18 eqid 2726 . . . 4 (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ)) = (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ))
19 fvex 6898 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) ∈ V
2019rnex 7900 . . . . 5 ran (Homf β€˜πΆ) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) ∈ V)
22 ssidd 4000 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† ran (Homf β€˜πΆ))
231, 2, 18, 7, 21, 22hofcl 18224 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((𝑂 Γ—c 𝐢) Func (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ))))
2416, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23curfpropd 18198 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀) = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF 𝑀))
25 oppcyon.y . . 3 π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
26 eqid 2726 . . 3 (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)) = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
2725, 9, 10, 26yonval 18226 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))))
2815, 24, 273eqtr4rd 2777 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸ¨cop 4629  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Catccat 17617  Homf chomf 17619  compfccomf 17620  oppCatcoppc 17664  SetCatcsetc 18037   curryF ccurf 18175  HomFchof 18213  Yoncyon 18214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-comf 17624  df-oppc 17665  df-func 17817  df-setc 18038  df-xpc 18136  df-curf 18179  df-hof 18215  df-yon 18216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator