Theorem oppcyon 17903

Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcyon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcyon.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oppcyon.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
oppcyon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
oppcyon	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcyon.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
2		oppcyon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 17352	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 17353	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcyon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 17350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 17350	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	hofpropd 17901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝐶) = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
16		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
17		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
19		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
20	19	rnex 7733	. . . . 5 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
22		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
23	1, 2, 18, 7, 21, 22	hofcl 17893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑂 ×c 𝐶) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
24	16, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23	curfpropd 17867	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀))
25		oppcyon.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝑂)) = (HomF‘(oppCat‘𝑂))
27	25, 9, 10, 26	yonval 17895	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
28	15, 24, 27	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ⟨cop 4564  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Catccat 17290  Hom_f chomf 17292  comp_fccomf 17293  oppCatcoppc 17337  SetCatcsetc 17706   curry_F ccurf 17844  Hom_Fchof 17882  Yoncyon 17883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-homf 17296  df-comf 17297  df-oppc 17338  df-func 17489  df-setc 17707  df-xpc 17805  df-curf 17848  df-hof 17884  df-yon 17885

This theorem is referenced by: (None)