MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcyon 18163
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
oppcyon.y π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
oppcyon.m 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
oppcyon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
oppcyon (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
2 oppcyon.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
322oppchomf 17611 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
522oppccomf 17612 . . . . . 6 (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
7 oppcyon.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
82oppccat 17609 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝑂 ∈ Cat)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Cat)
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (oppCatβ€˜π‘‚) = (oppCatβ€˜π‘‚)
1110oppccat 17609 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
129, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
134, 6, 7, 12hofpropd 18161 . . . 4 (πœ‘ β†’ (HomFβ€˜πΆ) = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
141, 13eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
1514oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF 𝑀) = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))))
16 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜π‘‚) = (Homf β€˜π‘‚))
17 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜π‘‚) = (compfβ€˜π‘‚))
18 eqid 2733 . . . 4 (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ)) = (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ))
19 fvex 6856 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) ∈ V
2019rnex 7850 . . . . 5 ran (Homf β€˜πΆ) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) ∈ V)
22 ssidd 3968 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† ran (Homf β€˜πΆ))
231, 2, 18, 7, 21, 22hofcl 18153 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((𝑂 Γ—c 𝐢) Func (SetCatβ€˜ran (Homf β€˜πΆ))))
2416, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23curfpropd 18127 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀) = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF 𝑀))
25 oppcyon.y . . 3 π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
26 eqid 2733 . . 3 (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)) = (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
2725, 9, 10, 26yonval 18155 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, (oppCatβ€˜π‘‚)⟩ curryF (HomFβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))))
2815, 24, 273eqtr4rd 2784 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (βŸ¨π‘‚, 𝐢⟩ curryF 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4593  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Catccat 17549  Homf chomf 17551  compfccomf 17552  oppCatcoppc 17596  SetCatcsetc 17966   curryF ccurf 18104  HomFchof 18142  Yoncyon 18143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-homf 17555  df-comf 17556  df-oppc 17597  df-func 17749  df-setc 17967  df-xpc 18065  df-curf 18108  df-hof 18144  df-yon 18145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator