Theorem oppcyon 17731

Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcyon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcyon.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oppcyon.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
oppcyon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
oppcyon	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcyon.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
2		oppcyon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 17182	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 17183	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcyon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 17180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 17180	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	hofpropd 17729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝐶) = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	syl5eq 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveq2d 7207	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
16		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
17		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
19		fvex 6708	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
20	19	rnex 7668	. . . . 5 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
22		ssidd 3910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
23	1, 2, 18, 7, 21, 22	hofcl 17721	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑂 ×c 𝐶) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
24	16, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23	curfpropd 17695	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀))
25		oppcyon.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝑂)) = (HomF‘(oppCat‘𝑂))
27	25, 9, 10, 26	yonval 17723	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
28	15, 24, 27	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398  ⟨cop 4533  ran crn 5537  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Catccat 17121  Hom_f chomf 17123  comp_fccomf 17124  oppCatcoppc 17168  SetCatcsetc 17535   curry_F ccurf 17672  Hom_Fchof 17710  Yoncyon 17711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-hom 16773  df-cco 16774  df-cat 17125  df-cid 17126  df-homf 17127  df-comf 17128  df-oppc 17169  df-func 17318  df-setc 17536  df-xpc 17633  df-curf 17676  df-hof 17712  df-yon 17713

This theorem is referenced by: (None)