Theorem oppcyon 17295

Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcyon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcyon.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oppcyon.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
oppcyon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
oppcyon	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcyon.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
2		oppcyon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 16769	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 16770	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcyon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 16767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 16767	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	hofpropd 17293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝐶) = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	syl5eq 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveq2d 6938	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
16		eqidd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
17		eqidd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
18		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
19		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
20	19	rnex 7379	. . . . 5 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
22		ssidd 3842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
23	1, 2, 18, 7, 21, 22	hofcl 17285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑂 ×c 𝐶) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
24	16, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23	curfpropd 17259	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀))
25		oppcyon.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
26		eqid 2777	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝑂)) = (HomF‘(oppCat‘𝑂))
27	25, 9, 10, 26	yonval 17287	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
28	15, 24, 27	3eqtr4rd 2824	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397  ⟨cop 4403  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Catccat 16710  Hom_f chomf 16712  comp_fccomf 16713  oppCatcoppc 16756  SetCatcsetc 17110   curry_F ccurf 17236  Hom_Fchof 17274  Yoncyon 17275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-hom 16362  df-cco 16363  df-cat 16714  df-cid 16715  df-homf 16716  df-comf 16717  df-oppc 16757  df-func 16903  df-setc 17111  df-xpc 17198  df-curf 17240  df-hof 17276  df-yon 17277

This theorem is referenced by: (None)