Theorem oppcyon 17985

Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcyon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcyon.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oppcyon.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
oppcyon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
oppcyon	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Proof of Theorem oppcyon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcyon.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝐶)
2		oppcyon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 17433	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 17434	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcyon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 17431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 17431	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	hofpropd 17983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘𝐶) = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (HomF‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveq2d 7287	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
16		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
17		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
19		fvex 6784	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
20	19	rnex 7753	. . . . 5 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
22		ssidd 3949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
23	1, 2, 18, 7, 21, 22	hofcl 17975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑂 ×c 𝐶) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
24	16, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 23	curfpropd 17949	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀) = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF 𝑀))
25		oppcyon.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
26		eqid 2740	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝑂)) = (HomF‘(oppCat‘𝑂))
27	25, 9, 10, 26	yonval 17977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, (oppCat‘𝑂)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝑂))))
28	15, 24, 27	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (⟨𝑂, 𝐶⟩ curryF 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  ⟨cop 4573  ran crn 5591  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Catccat 17371  Hom_f chomf 17373  comp_fccomf 17374  oppCatcoppc 17418  SetCatcsetc 17788   curry_F ccurf 17926  Hom_Fchof 17964  Yoncyon 17965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-hom 16984  df-cco 16985  df-cat 17375  df-cid 17376  df-homf 17377  df-comf 17378  df-oppc 17419  df-func 17571  df-setc 17789  df-xpc 17887  df-curf 17930  df-hof 17966  df-yon 17967

This theorem is referenced by: (None)