Theorem funcoppc3 50171

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
funcoppc3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc3	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem funcoppc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		funcoppc2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		funcoppc2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		funcoppc2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
5		funcoppc3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcoppc2 50167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos tpos 𝐺)
7		funcoppc3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵))
8		fnrel 6630	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵) → Rel 𝐺)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
10		relxp 5666	. . . 4 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
11	7	fndmd 6633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴 × 𝐵))
12	11	releqd 5752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵)))
13	10, 12	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
14		tpostpos2 8243	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	9, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
16	6, 15	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   × cxp 5646  dom cdm 5648  Rel wrel 5653   Fn wfn 6523  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  tpos ctpos 8221  oppCatcoppc 17832   Func cfunc 17976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-hom 17399  df-cco 17400  df-cat 17789  df-cid 17790  df-homf 17791  df-comf 17792  df-oppc 17833  df-func 17980

This theorem is used by: (None)