Theorem funcoppc2 49138

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcoppc2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Proof of Theorem funcoppc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
3		funcoppc2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
4	1, 2, 3	funcoppc 17782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺)
5		funcoppc2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	2oppchomf 17630	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
8	5	2oppccomf 17631	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
10		funcoppc2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
11	10	2oppchomf 17630	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
13	10	2oppccomf 17631	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
15		funcoppc2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 3460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ V)
18		funcoppc2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	18	elexd 3460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑃) ∈ V)
21	7, 9, 12, 14, 16, 17, 19, 20	funcpropd 17809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = ((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃)))
22	21	breqd 5103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺 ↔ 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺))
23	4, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  tpos ctpos 8158  Hom_f chomf 17572  comp_fccomf 17573  oppCatcoppc 17617   Func cfunc 17761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-comf 17577  df-oppc 17618  df-func 17765

This theorem is referenced by:  funcoppc4  49139  2oppffunc  49141  funcoppc3  49142  oppcuprcl2  49197