Theorem funcoppc2 49125

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcoppc2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Proof of Theorem funcoppc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
3		funcoppc2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
4	1, 2, 3	funcoppc 17817	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺)
5		funcoppc2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	2oppchomf 17665	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
8	5	2oppccomf 17666	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
10		funcoppc2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
11	10	2oppchomf 17665	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
13	10	2oppccomf 17666	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
15		funcoppc2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 3468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ V)
18		funcoppc2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	18	elexd 3468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑃) ∈ V)
21	7, 9, 12, 14, 16, 17, 19, 20	funcpropd 17844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = ((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃)))
22	21	breqd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺 ↔ 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺))
23	4, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  tpos ctpos 8181  Hom_f chomf 17607  comp_fccomf 17608  oppCatcoppc 17652   Func cfunc 17796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17609  df-cid 17610  df-homf 17611  df-comf 17612  df-oppc 17653  df-func 17800

This theorem is referenced by:  funcoppc4  49126  2oppffunc  49128  funcoppc3  49129  oppcuprcl2  49184