Theorem funcoppc2 49633

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcoppc2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Proof of Theorem funcoppc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
3		funcoppc2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
4	1, 2, 3	funcoppc 17836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺)
5		funcoppc2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	2oppchomf 17684	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
8	5	2oppccomf 17685	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
10		funcoppc2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
11	10	2oppchomf 17684	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
13	10	2oppccomf 17685	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
15		funcoppc2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 3454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ V)
18		funcoppc2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	18	elexd 3454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑃) ∈ V)
21	7, 9, 12, 14, 16, 17, 19, 20	funcpropd 17863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = ((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃)))
22	21	breqd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺 ↔ 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺))
23	4, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8169  Hom_f chomf 17626  comp_fccomf 17627  oppCatcoppc 17671   Func cfunc 17815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-hom 17238  df-cco 17239  df-cat 17628  df-cid 17629  df-homf 17630  df-comf 17631  df-oppc 17672  df-func 17819

This theorem is referenced by:  funcoppc4  49634  2oppffunc  49636  funcoppc3  49637  oppcuprcl2  49692