Theorem funcoppc2 49122

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcoppc2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Proof of Theorem funcoppc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
3		funcoppc2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
4	1, 2, 3	funcoppc 17843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺)
5		funcoppc2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	2oppchomf 17691	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
8	5	2oppccomf 17692	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
10		funcoppc2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
11	10	2oppchomf 17691	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
13	10	2oppccomf 17692	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
15		funcoppc2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	15	elexd 3474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17		fvexd 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ V)
18		funcoppc2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	18	elexd 3474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
20		fvexd 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑃) ∈ V)
21	7, 9, 12, 14, 16, 17, 19, 20	funcpropd 17870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = ((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃)))
22	21	breqd 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺 ↔ 𝐹((oppCat‘𝑂) Func (oppCat‘𝑃))tpos 𝐺))
23	4, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)tpos 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  tpos ctpos 8206  Hom_f chomf 17633  comp_fccomf 17634  oppCatcoppc 17678   Func cfunc 17822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679  df-func 17826

This theorem is referenced by:  funcoppc4  49123  2oppffunc  49125  funcoppc3  49126  oppcuprcl2  49181