Theorem oppff1o 50201

Description: The operation generating opposite functors is bijective. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppff1.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppff1.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppff1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppff1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
oppff1o	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1-onto→(𝑂 Func 𝑃))

Proof of Theorem oppff1o

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppff1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		oppff1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3	1, 2	oppff1 50200	. . 3 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃))
5		f1f 6770	. . . 4 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃))
7		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ( oppFunc ‘𝑓) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘( oppFunc ‘𝑓)))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ( oppFunc ‘𝑓) → (𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) ↔ 𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘( oppFunc ‘𝑓))))
9		oppff1o.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		oppff1o.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑊)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃))
14	1, 2, 10, 12, 13	2oppffunc 50198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → ( oppFunc ‘𝑓) ∈ (𝐶 Func 𝐷))
15	14	fvresd 6897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘( oppFunc ‘𝑓)) = ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑓)))
16		relfunc 18017	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑓)
18	14, 16, 17	2oppf 50184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑓)) = 𝑓)
19	15, 18	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → 𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘( oppFunc ‘𝑓)))
20	8, 14, 19	rspcedvdw 3580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔))
21	20	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)∃𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔))
22		dffo3 7094	. . 3 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–onto→(𝑂 Func 𝑃) ↔ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑃)∃𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)𝑓 = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔)))
23	6, 21, 22	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–onto→(𝑂 Func 𝑃))
24		df-f1o 6538	. 2 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1-onto→(𝑂 Func 𝑃) ↔ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) ∧ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–onto→(𝑂 Func 𝑃)))
25	4, 23, 24	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1-onto→(𝑂 Func 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  –onto→wfo 6529  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  oppCatcoppc 17865   Func cfunc 18009   oppFunc coppf 50174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-homf 17824  df-comf 17825  df-oppc 17866  df-func 18013  df-oppf 50175

This theorem is used by:  fucoppc  50462