Theorem 2sqn0 25621

Description: If the sum of two squares is prime, none of the original number is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqcoprm.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqn0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem 2sqn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqcoprm.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2		2sqcoprm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	eqeltrd 2859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
4	3	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
5		sq0i 13280	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
6	5	oveq1d 6939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7		2sqcoprm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 13330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	9	addid2d 10579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
11	6, 10	sylan9eqr 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
12		sqnprm 15829	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
14	13	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
15	11, 14	eqneltrd 2878	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
16	4, 15	pm2.65da 807	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
17	16	neqned 2976	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  (class class class)co 6924  0cc0 10274   + caddc 10277  2c2 11435  ℤcz 11733  ↑cexp 13183  ℙcprime 15800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-prm 15801

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  25622  2sqmod  25623