Theorem 2sqn0 26571

Description: If the sum of two squares is prime, none of the original number is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqcoprm.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqn0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem 2sqn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqcoprm.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2		2sqcoprm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
5		sq0i 13899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
6	5	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7		2sqcoprm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 13851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	9	addid2d 11165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
11	6, 10	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
12		sqnprm 16396	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
15	11, 14	eqneltrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
16	4, 15	pm2.65da 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
17	16	neqned 2950	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7269  0cc0 10860   + caddc 10863  2c2 12017  ℤcz 12308  ↑cexp 13771  ℙcprime 16365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-sup 9190  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-rp 12720  df-seq 13711  df-exp 13772  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-dvds 15953  df-prm 16366

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  26572  2sqmod  26573