Theorem 2sqn0 27360

Description: If the sum of two squares is prime, none of the original number is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqcoprm.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqn0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem 2sqn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqcoprm.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2		2sqcoprm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
5		sq0i 14182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
6	5	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7		2sqcoprm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	9	addlidd 11439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
11	6, 10	sylan9eqr 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
12		sqnprm 16666	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
15	11, 14	eqneltrd 2849	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
16	4, 15	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
17	16	neqned 2943	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  (class class class)co 7414  0cc0 11132   + caddc 11135  2c2 12291  ℤcz 12582  ↑cexp 14052  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  27361  2sqmod  27362