Theorem 2sqn0 27479

Description: If the sum of two squares is prime, none of the original number is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqcoprm.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqn0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem 2sqn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqcoprm.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2		2sqcoprm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
5		sq0i 14233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
6	5	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7		2sqcoprm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	9	addlidd 11463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
11	6, 10	sylan9eqr 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
12		sqnprm 16740	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ (𝐵↑2) ∈ ℙ)
15	11, 14	eqneltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ¬ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℙ)
16	4, 15	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
17	16	neqned 2946	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  0cc0 11156   + caddc 11159  2c2 12322  ℤcz 12615  ↑cexp 14103  ℙcprime 16709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  27480  2sqmod  27481