MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqnprm 16673
Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqnprm (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem sqnprm
StepHypRef Expression
1 zre 12593 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 absresq 15282 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
52recnd 11273 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65abscld 15416 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11273 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
87sqvald 14140 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)))
94, 8eqtr3d 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)))
10 simpr 484 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)
119, 10eqeltrrd 2830 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
12 nn0abscl 15292 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1312adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1413nn0zd 12615 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
15 sq1 14191 . . . . . 6 (1โ†‘2) = 1
16 prmuz2 16667 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
18 eluz2gt1 12935 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < (๐ดโ†‘2))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < (๐ดโ†‘2))
2019, 4breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2))
2115, 20eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2))
225absge0d 15424 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
23 1re 11245 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
24 0le1 11768 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
25 lt2sq 14130 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
2623, 24, 25mpanl12 701 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
276, 22, 26syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
2821, 27mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < (absโ€˜๐ด))
29 eluz2b1 12934 . . . 4 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (absโ€˜๐ด)))
3014, 28, 29sylanbrc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
31 nprm 16659 . . 3 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
3230, 30, 31syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
3311, 32pm2.65da 816 1 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280  2c2 12298  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ„คโ‰ฅcuz 12853  โ†‘cexp 14059  abscabs 15214  โ„™cprime 16642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643
This theorem is referenced by:  2sqblem  27377  2sqn0  27380  2sqcoprm  27381  2sqnn  27385
  Copyright terms: Public domain W3C validator