MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqnprm 16045
Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqnprm (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm
StepHypRef Expression
1 zre 11984 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 absresq 14661 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
52recnd 10668 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
65abscld 14795 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
87sqvald 13506 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
94, 8eqtr3d 2858 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10 simpr 487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
119, 10eqeltrrd 2914 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12 nn0abscl 14671 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12084 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15 sq1 13557 . . . . . 6 (1↑2) = 1
16 prmuz2 16039 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
1716adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2gt1 12319 . . . . . . . 8 ((𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
2019, 4breqtrrd 5093 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
2115, 20eqbrtrid 5100 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
225absge0d 14803 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
23 1re 10640 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
24 0le1 11162 . . . . . . 7 0 ≤ 1
25 lt2sq 13497 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2623, 24, 25mpanl12 700 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
276, 22, 26syl2anc 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2821, 27mpbird 259 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
29 eluz2b1 12318 . . . 4 ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
3014, 28, 29sylanbrc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
31 nprm 16031 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3230, 30, 31syl2anc 586 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3311, 32pm2.65da 815 1 (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  2c2 11691  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  cexp 13428  abscabs 14592  cprime 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015
This theorem is referenced by:  2sqblem  26006  2sqn0  26009  2sqcoprm  26010  2sqnn  26014
  Copyright terms: Public domain W3C validator