Theorem sqnprm 16407

Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqnprm	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absresq 15014	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
5	2	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqvald 13861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
9	4, 8	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
11	9, 10	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12		nn0abscl 15024	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15		sq1 13912	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
16		prmuz2 16401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2gt1 12660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
20	19, 4	breqtrrd 5102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
21	15, 20	eqbrtrid 5109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
22	5	absge0d 15156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
23		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0le1 11498	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
25		lt2sq 13852	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
26	23, 24, 25	mpanl12 699	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
27	6, 22, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
28	21, 27	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
29		eluz2b1 12659	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
30	14, 28, 29	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
31		nprm 16393	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
32	30, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
33	11, 32	pm2.65da 814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782  abscabs 14945  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  2sqblem  26579  2sqn0  26582  2sqcoprm  26583  2sqnn  26587