MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqnprm 16585
Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqnprm (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem sqnprm
StepHypRef Expression
1 zre 12510 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 absresq 15194 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
52recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65abscld 15328 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
87sqvald 14055 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)))
94, 8eqtr3d 2779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)))
10 simpr 486 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)
119, 10eqeltrrd 2839 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
12 nn0abscl 15204 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1312adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1413nn0zd 12532 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
15 sq1 14106 . . . . . 6 (1โ†‘2) = 1
16 prmuz2 16579 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
18 eluz2gt1 12852 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < (๐ดโ†‘2))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < (๐ดโ†‘2))
2019, 4breqtrrd 5138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2))
2115, 20eqbrtrid 5145 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2))
225absge0d 15336 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
23 1re 11162 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
24 0le1 11685 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
25 lt2sq 14045 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
2623, 24, 25mpanl12 701 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
276, 22, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 < (absโ€˜๐ด) โ†” (1โ†‘2) < ((absโ€˜๐ด)โ†‘2)))
2821, 27mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < (absโ€˜๐ด))
29 eluz2b1 12851 . . . 4 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (absโ€˜๐ด)))
3014, 28, 29sylanbrc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
31 nprm 16571 . . 3 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
3230, 30, 31syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„™)
3311, 32pm2.65da 816 1 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  2sqblem  26795  2sqn0  26798  2sqcoprm  26799  2sqnn  26803
  Copyright terms: Public domain W3C validator