Theorem umgr2adedgwlk 29932

Description: In a multigraph, two adjacent edges form a walk of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgwlk	⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 29931	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3986	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3986	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20	2wlkd 29923	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
22	2	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
23		s2len 14913	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
24	22, 23	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 2)
26		s3fv0 14915	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27		s3fv1 14916	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
28		s3fv2 14917	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
29	26, 27, 28	3anim123i 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
31	1	fveq1i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
32	31	eqeq2i 2749	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
33		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
34	32, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
35	1	fveq1i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)
36	35	eqeq2i 2749	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
37		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
38	36, 37	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
39	1	fveq1i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
40	39	eqeq2i 2749	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
41		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
42	40, 41	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
43	34, 38, 42	3anbi123i 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
44	30, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)))
45	21, 25, 44	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  0cc0 11134  1c1 11135  2c2 12300  ♯chash 14353  ⟨“cs2 14865  ⟨“cs3 14866  Vtxcvtx 28980  iEdgciedg 28981  Edgcedg 29031  UMGraphcumgr 29065  Walkscwlks 29581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-edg 29032  df-umgr 29067  df-wlks 29584

This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlkonALT  29934  umgr2wlk  29936