Theorem umgr2adedgwlk 28211

Description: In a multigraph, two adjacent edges form a walk of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgwlk	⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 28210	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20	2wlkd 28202	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
22	2	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
23		s2len 14530	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
24	22, 23	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 2)
26		s3fv0 14532	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27		s3fv1 14533	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
28		s3fv2 14534	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
29	26, 27, 28	3anim123i 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
31	1	fveq1i 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
32	31	eqeq2i 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
33		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
34	32, 33	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
35	1	fveq1i 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)
36	35	eqeq2i 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
37		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
38	36, 37	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
39	1	fveq1i 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
40	39	eqeq2i 2751	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
41		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
42	40, 41	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
43	34, 38, 42	3anbi123i 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
44	30, 43	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)))
45	21, 25, 44	3jca 1126	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  ♯chash 13972  ⟨“cs2 14482  ⟨“cs3 14483  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  UMGraphcumgr 27354  Walkscwlks 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-wlks 27869

This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlkonALT  28213  umgr2wlk  28215