Theorem umgr2adedgwlk 29975

Description: In a multigraph, two adjacent edges form a walk of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2adedgwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2adedgwlk.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2adedgwlk.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
umgr2adedgwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})

Assertion

Ref	Expression
umgr2adedgwlk	⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2adedgwlk.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		umgr2adedgwlk.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		umgr2adedgwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgr2adedgwlk.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7		umgr2adedgwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	7	umgr2adedgwlklem 29974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	9	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12		ssid 4018	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13		umgr2adedgwlk.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = {𝐴, 𝐵})
14	12, 13	sseqtrrid 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽))
15		ssid 4018	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16		umgr2adedgwlk.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) = {𝐵, 𝐶})
17	15, 16	sseqtrrid 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))
18	14, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
19		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		umgr2adedgwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21	1, 2, 10, 11, 18, 19, 20	2wlkd 29966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
22	2	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
23		s2len 14925	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
24	22, 23	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 2)
26		s3fv0 14927	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27		s3fv1 14928	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
28		s3fv2 14929	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
29	26, 27, 28	3anim123i 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
31	1	fveq1i 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
32	31	eqeq2i 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
33		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
34	32, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃‘0) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
35	1	fveq1i 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)
36	35	eqeq2i 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
37		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
38	36, 37	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (𝑃‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
39	1	fveq1i 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
40	39	eqeq2i 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
41		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
42	40, 41	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝑃‘2) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
43	34, 38, 42	3anbi123i 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
44	30, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2)))
45	21, 25, 44	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑃‘0) ∧ 𝐵 = (𝑃‘1) ∧ 𝐶 = (𝑃‘2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  ♯chash 14366  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  UMGraphcumgr 29113  Walkscwlks 29629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-edg 29080  df-umgr 29115  df-wlks 29632

This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlkonALT  29977  umgr2wlk  29979