MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2adedgwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2adedgwlk 28355
Description: In a multigraph, two adjacent edges form a walk of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2adedgwlk.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
umgr2adedgwlk.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
umgr2adedgwlk.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
umgr2adedgwlk.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©
umgr2adedgwlk.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2adedgwlk.a (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = {𝐴, 𝐡})
umgr2adedgwlk.k (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜πΎ) = {𝐡, 𝐢})
Assertion
Ref Expression
umgr2adedgwlk (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ∧ 𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜2))))

Proof of Theorem umgr2adedgwlk
StepHypRef Expression
1 umgr2adedgwlk.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©
2 umgr2adedgwlk.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
3 umgr2adedgwlk.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
4 umgr2adedgwlk.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸))
5 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)))
63, 4, 5sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸))
7 umgr2adedgwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
87umgr2adedgwlklem 28354 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))))
96, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))))
109simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
119simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
12 ssid 3948 . . . . 5 {𝐴, 𝐡} βŠ† {𝐴, 𝐡}
13 umgr2adedgwlk.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = {𝐴, 𝐡})
1412, 13sseqtrrid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½))
15 ssid 3948 . . . . 5 {𝐡, 𝐢} βŠ† {𝐡, 𝐢}
16 umgr2adedgwlk.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜πΎ) = {𝐡, 𝐢})
1715, 16sseqtrrid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ))
1814, 17jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
19 eqid 2736 . . 3 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
20 umgr2adedgwlk.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
211, 2, 10, 11, 18, 19, 202wlkd 28346 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
222fveq2i 6807 . . . 4 (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)
23 s2len 14647 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) = 2
2422, 23eqtri 2764 . . 3 (β™―β€˜πΉ) = 2
2524a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) = 2)
26 s3fv0 14649 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
27 s3fv1 14650 . . . . 5 (𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
28 s3fv2 14651 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
2926, 27, 283anim123i 1151 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢))
3010, 29syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢))
311fveq1i 6805 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜0) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)
3231eqeq2i 2749 . . . . 5 (𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ↔ 𝐴 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0))
33 eqcom 2743 . . . . 5 (𝐴 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
3432, 33bitri 275 . . . 4 (𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
351fveq1i 6805 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜1) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)
3635eqeq2i 2749 . . . . 5 (𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ↔ 𝐡 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))
37 eqcom 2743 . . . . 5 (𝐡 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
3836, 37bitri 275 . . . 4 (𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
391fveq1i 6805 . . . . . 6 (π‘ƒβ€˜2) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)
4039eqeq2i 2749 . . . . 5 (𝐢 = (π‘ƒβ€˜2) ↔ 𝐢 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2))
41 eqcom 2743 . . . . 5 (𝐢 = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
4240, 41bitri 275 . . . 4 (𝐢 = (π‘ƒβ€˜2) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
4334, 38, 423anbi123i 1155 . . 3 ((𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ∧ 𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜2)) ↔ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡 ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢))
4430, 43sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ∧ 𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜2)))
4521, 25, 443jca 1128 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (𝐴 = (π‘ƒβ€˜0) ∧ 𝐡 = (π‘ƒβ€˜1) ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3892  {cpr 4567   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  0cc0 10917  1c1 10918  2c2 12074  β™―chash 14090  βŸ¨β€œcs2 14599  βŸ¨β€œcs3 14600  Vtxcvtx 27411  iEdgciedg 27412  Edgcedg 27462  UMGraphcumgr 27496  Walkscwlks 28008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263  df-concat 14319  df-s1 14346  df-s2 14606  df-s3 14607  df-edg 27463  df-umgr 27498  df-wlks 28011
This theorem is referenced by:  umgr2adedgwlkonALT  28357  umgr2wlk  28359
  Copyright terms: Public domain W3C validator