Theorem cnre2csqlem 31263

Description: Lemma for cnre2csqima 31264. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnre2csqlem.1	⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
cnre2csqlem.2	⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3	⊢ 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5	⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnre2csqlem	⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre2csqlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 Fn V
2		ssv 3939	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ V
3		fnssres 6442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5		elpreima 6805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
7	6	simplbda 503	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
8	7	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
9		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10		fvres 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
12	11	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
13		simp1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	14	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ))
16		cnre2csqlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	vtoclga 3522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
19		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
23	18, 20	readdcld 10659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25		elioo2 12767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
26	22, 24, 25	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
27	26	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
28	27	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌))
29	27	simp3d 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))
30	28, 29	jca 515	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
31	30	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
32	12, 31	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
33		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑌))
34	33	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ))
35	34, 16	vtoclga 3522	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
37		absdiflt 14669	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
38	37	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
39	36, 18, 20, 38	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
40	8, 32, 39	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
41		cnre2csqlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42		fnfvelrn 6825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
43	41, 9, 42	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
44		fnfvelrn 6825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
45	41, 13, 44	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
46		fvoveq1 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)))
47		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
48	47	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)))
49	46, 48	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦))))
50		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
52		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
53	52	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
54	51, 53	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))))
55		cnre2csqlem.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))
56	49, 54, 55	vtocl2ga 3523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
57	43, 45, 56	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
58		cnre2csqlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
59	58	fveq1i 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌)
60		fvco2 6735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
61	41, 9, 60	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
62	59, 11, 61	3eqtr3a 2857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
63	58	fveq1i 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋)
64		fvres 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
65	13, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
66		fvco2 6735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
67	41, 13, 66	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
68	63, 65, 67	3eqtr3a 2857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
69	62, 68	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
70	57, 69	eqtr4d 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)))
71	70	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) = (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))))
72	71	breq1d 5040	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
73	40, 72	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522   ∘ ccom 5523   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   + caddc 10529  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   − cmin 10859  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  cnre2csqima  31264