Theorem cnre2csqlem 34060

Description: Lemma for cnre2csqima 34061. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnre2csqlem.1	⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
cnre2csqlem.2	⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3	⊢ 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5	⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnre2csqlem	⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre2csqlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 Fn V
2		ssv 3947	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ V
3		fnssres 6613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5		elpreima 7002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
7	6	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
9		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10		fvres 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
12	11	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
13		simp1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	14	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ))
16		cnre2csqlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
19		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
23	18, 20	readdcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25		elioo2 13303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
27	26	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
28	27	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌))
29	27	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))
30	28, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
32	12, 31	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
33		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑌))
34	33	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ))
35	34, 16	vtoclga 3521	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
37		absdiflt 15242	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
38	37	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
39	36, 18, 20, 38	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
40	8, 32, 39	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
41		cnre2csqlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42		fnfvelrn 7024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
43	41, 9, 42	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
44		fnfvelrn 7024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
45	41, 13, 44	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
46		fvoveq1 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)))
47		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
48	47	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)))
49	46, 48	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦))))
50		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
52		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
53	52	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
54	51, 53	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))))
55		cnre2csqlem.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))
56	49, 54, 55	vtocl2ga 3522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
57	43, 45, 56	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
58		cnre2csqlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
59	58	fveq1i 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌)
60		fvco2 6929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
61	41, 9, 60	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
62	59, 11, 61	3eqtr3a 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
63	58	fveq1i 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋)
64		fvres 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
65	13, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
66		fvco2 6929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
67	41, 13, 66	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
68	63, 65, 67	3eqtr3a 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
69	62, 68	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
70	57, 69	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)))
71	70	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) = (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))))
72	71	breq1d 5096	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
73	40, 72	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  ran crn 5623   ↾ cres 5624   “ cima 5625   ∘ ccom 5626   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026   + caddc 11030  ℝ^*cxr 11166   < clt 11167   − cmin 11365  ℝ⁺crp 12906  (,)cioo 13262  abscabs 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-ioo 13266  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160

This theorem is referenced by:  cnre2csqima  34061