Theorem cnre2csqlem 32878

Description: Lemma for cnre2csqima 32879. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnre2csqlem.1	⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
cnre2csqlem.2	⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3	⊢ 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5	⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnre2csqlem	⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre2csqlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 Fn V
2		ssv 4005	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ V
3		fnssres 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5		elpreima 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
7	6	simplbda 500	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
8	7	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
9		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10		fvres 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
12	11	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
13		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	14	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ))
16		cnre2csqlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	vtoclga 3565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
23	18, 20	readdcld 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25		elioo2 13361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
27	26	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
28	27	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌))
29	27	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))
30	28, 29	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
31	30	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
32	12, 31	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
33		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑌))
34	33	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ))
35	34, 16	vtoclga 3565	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
37		absdiflt 15260	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
38	37	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
39	36, 18, 20, 38	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
40	8, 32, 39	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
41		cnre2csqlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42		fnfvelrn 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
43	41, 9, 42	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
44		fnfvelrn 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
45	41, 13, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
46		fvoveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)))
47		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
48	47	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)))
49	46, 48	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦))))
50		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
52		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
53	52	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
54	51, 53	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))))
55		cnre2csqlem.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))
56	49, 54, 55	vtocl2ga 3566	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
57	43, 45, 56	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
58		cnre2csqlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
59	58	fveq1i 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌)
60		fvco2 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
61	41, 9, 60	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
62	59, 11, 61	3eqtr3a 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
63	58	fveq1i 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋)
64		fvres 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
65	13, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
66		fvco2 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
67	41, 13, 66	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
68	63, 65, 67	3eqtr3a 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
69	62, 68	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
70	57, 69	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)))
71	70	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) = (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))))
72	71	breq1d 5157	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
73	40, 72	sylibrd 258	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ^◡ccnv 5674  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   + caddc 11109  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   − cmin 11440  ℝ⁺crp 12970  (,)cioo 13320  abscabs 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179

This theorem is referenced by:  cnre2csqima  32879