Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnre2csqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnre2csqlem 33434
Description: Lemma for cnre2csqima 33435. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnre2csqlem.1 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
cnre2csqlem.2 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnre2csqlem ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem
StepHypRef Expression
1 cnre2csqlem.3 . . . . . . 7 𝐺 Fn V
2 ssv 4002 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ V
3 fnssres 6672 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5 elpreima 7061 . . . . . 6 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
64, 5mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
76simplbda 499 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))
87ex 412 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
9 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
1211eleq1d 2813 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
13 simp1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1514eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑋) ∈ ℝ))
16 cnre2csqlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16vtoclga 3561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
19 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
2019rpred 13034 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 11658 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
2221rexrd 11280 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
2318, 20readdcld 11259 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
2423rexrd 11280 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25 elioo2 13383 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2726biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
2827simp2d 1141 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌))
2927simp3d 1142 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))
3028, 29jca 511 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
3130ex 412 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3212, 31sylbid 239 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
33 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑌))
3433eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑌) ∈ ℝ))
3534, 16vtoclga 3561 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
369, 35syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
37 absdiflt 15282 . . . . 5 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3837biimprd 247 . . . 4 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
3936, 18, 20, 38syl3anc 1369 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
408, 32, 393syld 60 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
41 cnre2csqlem.2 . . . . . . 7 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42 fnfvelrn 7084 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
4341, 9, 42sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
44 fnfvelrn 7084 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
4541, 13, 44sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
46 fvoveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
4847oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)))
4946, 48eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦))))
50 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) − 𝑦) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
5150fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
52 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
5352oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5451, 53eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋)))))
55 cnre2csqlem.5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
5649, 54, 55vtocl2ga 3562 . . . . . 6 (((𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5743, 45, 56syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
58 cnre2csqlem.1 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
5958fveq1i 6892 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻𝐹)‘𝑌)
60 fvco2 6989 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6141, 9, 60sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6259, 11, 613eqtr3a 2791 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6358fveq1i 6892 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻𝐹)‘𝑋)
64 fvres 6910 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
6513, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
66 fvco2 6989 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6741, 13, 66sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6863, 65, 673eqtr3a 2791 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6962, 68oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
7057, 69eqtr4d 2770 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)))
7170fveq2d 6895 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) = (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))))
7271breq1d 5152 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
7340, 72sylibrd 259 1 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ccnv 5671  ran crn 5673  cres 5674  cima 5675  ccom 5676   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11123   + caddc 11127  *cxr 11263   < clt 11264  cmin 11460  +crp 12992  (,)cioo 13342  abscabs 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ioo 13346  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201
This theorem is referenced by:  cnre2csqima  33435
  Copyright terms: Public domain W3C validator