Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnre2csqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnre2csqlem 32491
Description: Lemma for cnre2csqima 32492. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnre2csqlem.1 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
cnre2csqlem.2 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnre2csqlem ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem
StepHypRef Expression
1 cnre2csqlem.3 . . . . . . 7 𝐺 Fn V
2 ssv 3968 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ V
3 fnssres 6624 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . 6 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5 elpreima 7008 . . . . . 6 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
64, 5mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
76simplbda 500 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))
87ex 413 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
9 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10 fvres 6861 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
1211eleq1d 2822 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
13 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1514eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑋) ∈ ℝ))
16 cnre2csqlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16vtoclga 3534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
19 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
2019rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
2221rexrd 11205 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
2318, 20readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
2423rexrd 11205 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25 elioo2 13305 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2726biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
2827simp2d 1143 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌))
2927simp3d 1144 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))
3028, 29jca 512 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
3130ex 413 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3212, 31sylbid 239 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
33 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑌))
3433eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑌) ∈ ℝ))
3534, 16vtoclga 3534 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
369, 35syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
37 absdiflt 15202 . . . . 5 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3837biimprd 247 . . . 4 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
3936, 18, 20, 38syl3anc 1371 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
408, 32, 393syld 60 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
41 cnre2csqlem.2 . . . . . . 7 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42 fnfvelrn 7031 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
4341, 9, 42sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
44 fnfvelrn 7031 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
4541, 13, 44sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
46 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)))
47 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
4847oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)))
4946, 48eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦))))
50 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) − 𝑦) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
5150fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
52 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
5352oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5451, 53eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋)))))
55 cnre2csqlem.5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
5649, 54, 55vtocl2ga 3535 . . . . . 6 (((𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5743, 45, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
58 cnre2csqlem.1 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
5958fveq1i 6843 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻𝐹)‘𝑌)
60 fvco2 6938 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6141, 9, 60sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6259, 11, 613eqtr3a 2800 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6358fveq1i 6843 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻𝐹)‘𝑋)
64 fvres 6861 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
6513, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
66 fvco2 6938 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6741, 13, 66sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6863, 65, 673eqtr3a 2800 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6962, 68oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
7057, 69eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)))
7170fveq2d 6846 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) = (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))))
7271breq1d 5115 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
7340, 72sylibrd 258 1 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  cnre2csqima  32492
  Copyright terms: Public domain W3C validator