Theorem cnre2csqlem 31762

Description: Lemma for cnre2csqima 31763. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnre2csqlem.1	⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
cnre2csqlem.2	⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3	⊢ 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5	⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnre2csqlem	⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre2csqlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 Fn V
2		ssv 3941	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ V
3		fnssres 6539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5		elpreima 6917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
7	6	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
9		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10		fvres 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
12	11	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
13		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	14	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ))
16		cnre2csqlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	vtoclga 3503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
19		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
23	18, 20	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25		elioo2 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
26	22, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
27	26	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
28	27	simp2d 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌))
29	27	simp3d 1142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))
30	28, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
32	12, 31	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
33		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑌))
34	33	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ))
35	34, 16	vtoclga 3503	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
37		absdiflt 14957	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
38	37	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
39	36, 18, 20, 38	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
40	8, 32, 39	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
41		cnre2csqlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42		fnfvelrn 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
43	41, 9, 42	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
44		fnfvelrn 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
45	41, 13, 44	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
46		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)))
47		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
48	47	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)))
49	46, 48	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦))))
50		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
52		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
53	52	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
54	51, 53	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))))
55		cnre2csqlem.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))
56	49, 54, 55	vtocl2ga 3504	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
57	43, 45, 56	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
58		cnre2csqlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
59	58	fveq1i 6757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌)
60		fvco2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
61	41, 9, 60	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
62	59, 11, 61	3eqtr3a 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
63	58	fveq1i 6757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋)
64		fvres 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
65	13, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
66		fvco2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
67	41, 13, 66	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
68	63, 65, 67	3eqtr3a 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
69	62, 68	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
70	57, 69	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)))
71	70	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) = (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))))
72	71	breq1d 5080	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
73	40, 72	sylibrd 258	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   ↾ cres 5582   “ cima 5583   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   − cmin 11135  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  cnre2csqima  31763