Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnre2csqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnre2csqlem 31052
Description: Lemma for cnre2csqima 31053. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnre2csqlem.1 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
cnre2csqlem.2 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnre2csqlem ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem
StepHypRef Expression
1 cnre2csqlem.3 . . . . . . 7 𝐺 Fn V
2 ssv 3988 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ V
3 fnssres 6463 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
41, 2, 3mp2an 688 . . . . . 6 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5 elpreima 6820 . . . . . 6 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
64, 5mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
76simplbda 500 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))
87ex 413 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
9 simp2 1129 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10 fvres 6682 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
1211eleq1d 2894 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
13 simp1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1514eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑋) ∈ ℝ))
16 cnre2csqlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16vtoclga 3571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
19 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
2019rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
2221rexrd 10679 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
2318, 20readdcld 10658 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
2423rexrd 10679 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25 elioo2 12767 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2726biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
2827simp2d 1135 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌))
2927simp3d 1136 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))
3028, 29jca 512 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
3130ex 413 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3212, 31sylbid 241 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
33 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑌))
3433eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑌) ∈ ℝ))
3534, 16vtoclga 3571 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
369, 35syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
37 absdiflt 14665 . . . . 5 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3837biimprd 249 . . . 4 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
3936, 18, 20, 38syl3anc 1363 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
408, 32, 393syld 60 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
41 cnre2csqlem.2 . . . . . . 7 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42 fnfvelrn 6840 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
4341, 9, 42sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
44 fnfvelrn 6840 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
4541, 13, 44sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
46 fvoveq1 7168 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)))
47 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
4847oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)))
4946, 48eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦))))
50 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) − 𝑦) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
5150fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
52 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
5352oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5451, 53eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋)))))
55 cnre2csqlem.5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
5649, 54, 55vtocl2ga 3572 . . . . . 6 (((𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5743, 45, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
58 cnre2csqlem.1 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
5958fveq1i 6664 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻𝐹)‘𝑌)
60 fvco2 6751 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6141, 9, 60sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6259, 11, 613eqtr3a 2877 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6358fveq1i 6664 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻𝐹)‘𝑋)
64 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
6513, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
66 fvco2 6751 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6741, 13, 66sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6863, 65, 673eqtr3a 2877 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6962, 68oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
7057, 69eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)))
7170fveq2d 6667 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) = (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))))
7271breq1d 5067 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
7340, 72sylibrd 260 1 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ccnv 5547  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  ccom 5552   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  (,)cioo 12726  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  cnre2csqima  31053
  Copyright terms: Public domain W3C validator