Theorem cnre2csqlem 30794

Description: Lemma for cnre2csqima 30795. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnre2csqlem.1	⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
cnre2csqlem.2	⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3	⊢ 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5	⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnre2csqlem	⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre2csqlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 Fn V
2		ssv 3882	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ V
3		fnssres 6303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5		elpreima 6653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))))
7	6	simplbda 492	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
8	7	ex 405	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
9		simp2 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10		fvres 6518	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺‘𝑌))
12	11	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
13		simp1 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	14	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ))
16		cnre2csqlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	vtoclga 3494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
19		simp3 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
23	18, 20	readdcld 10469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25		elioo2 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺‘𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
26	22, 24, 25	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
27	26	biimpa 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
28	27	simp2d 1123	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌))
29	27	simp3d 1124	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))
30	28, 29	jca 504	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)))
31	30	ex 405	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
32	12, 31	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
33		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑌))
34	33	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ))
35	34, 16	vtoclga 3494	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
36	9, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) ∈ ℝ)
37		absdiflt 14538	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷))))
38	37	biimprd 240	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
39	36, 18, 20, 38	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺‘𝑋) − 𝐷) < (𝐺‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝑌) < ((𝐺‘𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
40	8, 32, 39	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
41		cnre2csqlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42		fnfvelrn 6673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
43	41, 9, 42	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹)
44		fnfvelrn 6673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
45	41, 13, 44	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹)
46		fvoveq1 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)))
47		fveq2 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
48	47	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)))
49	46, 48	eqeq12d 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → ((𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦))))
50		oveq2 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐹‘𝑌) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
52		fveq2 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
53	52	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
54	51, 53	eqeq12d 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑋) → ((𝐻‘((𝐹‘𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))))
55		cnre2csqlem.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥 − 𝑦)) = ((𝐻‘𝑥) − (𝐻‘𝑦)))
56	49, 54, 55	vtocl2ga 3495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
57	43, 45, 56	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
58		cnre2csqlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻 ∘ 𝐹)
59	58	fveq1i 6500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌)
60		fvco2 6586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
61	41, 9, 60	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
62	59, 11, 61	3eqtr3a 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹‘𝑌)))
63	58	fveq1i 6500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋)
64		fvres 6518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
65	13, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
66		fvco2 6586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
67	41, 13, 66	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
68	63, 65, 67	3eqtr3a 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹‘𝑋)))
69	62, 68	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑌)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑋))))
70	57, 69	eqtr4d 2818	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)))
71	70	fveq2d 6503	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) = (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))))
72	71	breq1d 4939	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) < 𝐷))
73	40, 72	sylibrd 251	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ (◡(𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺‘𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺‘𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416   ⊆ wss 3830   class class class wbr 4929   × cxp 5405  ^◡ccnv 5406  ran crn 5408   ↾ cres 5409   “ cima 5410   ∘ ccom 5411   Fn wfn 6183  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334   + caddc 10338  ℝ^*cxr 10473   < clt 10474   − cmin 10670  ℝ⁺crp 12204  (,)cioo 12554  abscabs 14454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-ioo 12558  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456

This theorem is referenced by:  cnre2csqima  30795