Theorem abssubne0 15491

Description: If the absolute value of a complex number is less than a real, its difference from the real is nonzero. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abssubne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem abssubne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11342	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 15452	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		abscl 15452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
9		leabs 15473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
11	5, 1, 7, 8, 10	ltletrd 11475	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < (abs‘𝐵))
12	5, 11	gtned 11450	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐵) ≠ (abs‘𝐴))
13		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
14	13	necon3i 2987	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐵) ≠ (abs‘𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	2, 3, 15	subne0d 11684	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
17	16	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546  abscabs 15408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45447