MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 18546
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘†))
2 pweq 4620 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
32ineq1d 4213 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
43imaeq2d 6068 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54unieqd 4925 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
61, 5eqeq12d 2744 . 2 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7 isacs3lem 18541 . . . . 5 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
8 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
98isacs4lem 18543 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
108isacs5lem 18544 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
1211simprd 494 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1312adantr 479 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14 elfvdm 6939 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ACS)
15 elpw2g 5350 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1716biimpar 476 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
186, 13, 17rspcdva 3612 1 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  dom cdm 5682   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  Fincfn 8970  Moorecmre 17569  mrClscmrc 17570  ACScacs 17572  Dirsetcdrs 18293  toInccipo 18526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ocomp 17261  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-drs 18295  df-poset 18312  df-ipo 18527
This theorem is referenced by:  acsficld  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator