MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 18509
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6884 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘†))
2 pweq 4611 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
32ineq1d 4206 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
43imaeq2d 6052 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54unieqd 4915 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
61, 5eqeq12d 2742 . 2 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7 isacs3lem 18504 . . . . 5 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
8 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
98isacs4lem 18506 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
108isacs5lem 18507 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
1211simprd 495 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1312adantr 480 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14 elfvdm 6921 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ACS)
15 elpw2g 5337 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1716biimpar 477 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
186, 13, 17rspcdva 3607 1 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  Fincfn 8938  Moorecmre 17532  mrClscmrc 17533  ACScacs 17535  Dirsetcdrs 18256  toInccipo 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ocomp 17224  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-proset 18257  df-drs 18258  df-poset 18275  df-ipo 18490
This theorem is referenced by:  acsficld  18513
  Copyright terms: Public domain W3C validator