MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 18276
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6771 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑆))
2 pweq 4555 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
32ineq1d 4151 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
43imaeq2d 5968 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54unieqd 4859 . . 3 (𝑠 = 𝑆 (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
61, 5eqeq12d 2756 . 2 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7 isacs3lem 18271 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
8 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
98isacs4lem 18273 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
108isacs5lem 18274 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
1211simprd 496 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1312adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14 elfvdm 6803 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
15 elpw2g 5272 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
1716biimpar 478 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
186, 13, 17rspcdva 3563 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  cin 3891  wss 3892  𝒫 cpw 4539   cuni 4845  dom cdm 5590  cima 5593  cfv 6432  Fincfn 8725  Moorecmre 17302  mrClscmrc 17303  ACScacs 17305  Dirsetcdrs 18023  toInccipo 18256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ocomp 16994  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-proset 18024  df-drs 18025  df-poset 18042  df-ipo 18257
This theorem is referenced by:  acsficld  18280
  Copyright terms: Public domain W3C validator