MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 18441
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘†))
2 pweq 4575 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
32ineq1d 4172 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
43imaeq2d 6014 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54unieqd 4880 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
61, 5eqeq12d 2749 . 2 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7 isacs3lem 18436 . . . . 5 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
8 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
98isacs4lem 18438 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
108isacs5lem 18439 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
1211simprd 497 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1312adantr 482 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14 elfvdm 6880 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ACS)
15 elpw2g 5302 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑋))
1716biimpar 479 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
186, 13, 17rspcdva 3581 1 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  Fincfn 8886  Moorecmre 17467  mrClscmrc 17468  ACScacs 17470  Dirsetcdrs 18188  toInccipo 18421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-drs 18190  df-poset 18207  df-ipo 18422
This theorem is referenced by:  acsficld  18445
  Copyright terms: Public domain W3C validator