Theorem acsficl 18513

Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
acsficl	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑆))
2		pweq 4555	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
3	2	ineq1d 4159	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
4	3	imaeq2d 6025	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	unieqd 4863	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
6	1, 5	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7		isacs3lem 18508	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
8		acsdrscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
9	8	isacs4lem 18510	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
10	8	isacs5lem 18511	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
12	11	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14		elfvdm 6874	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
15		elpw2g 5274	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ACS → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
17	16	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
18	6, 13, 17	rspcdva 3565	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  dom cdm 5631   “ cima 5634  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  ACScacs 17547  Dirsetcdrs 18259  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  acsficld  18517