Theorem acsficl 18598

Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
acsficl	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑆))
2		pweq 4576	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
3	2	ineq1d 4172	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
4	3	imaeq2d 6062	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	unieqd 4885	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
6	1, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7		isacs3lem 18593	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
8		acsdrscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
9	8	isacs4lem 18595	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
10	8	isacs5lem 18596	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
11	7, 9, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
12	11	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
13	12	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14		elfvdm 6915	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
15		elpw2g 5304	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ACS → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
17	16	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
18	6, 13, 17	rspcdva 3582	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑆) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872  dom cdm 5661   “ cima 5664  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  Moorecmre 17629  mrClscmrc 17630  ACScacs 17632  Dirsetcdrs 18344  toInccipo 18578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-drs 18346  df-poset 18364  df-ipo 18579

This theorem is referenced by:  acsficld  18602